Question

已知二次函數(shù)y=-x²+2x+圖象交x軸于點(diǎn)A，B（A在B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，連接BD．點(diǎn)E是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過E作EF⊥AB交射線AD于點(diǎn)F，以EF為一邊在EF的右側(cè)作正方形EFGH．設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，0）．
（1）求射線AD的解析式；
（2）在線段AB上是否存在點(diǎn)E，使△OCG為等腰三角形？若存在，求正方形EFGH的邊長；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)正方形EFGH與△ABD重疊部分面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式求出A、B、C、D的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法就可以求出AD的解析式；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及兩點(diǎn)間的距離公式建立方程，分類討論就可以求出正方形的邊長，從而得出結(jié)論；
（3）分情況討論從-1＜t≤，＜t≤2，2＜t≤3及3＜t＜5四種情況求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．
解答：解：（1）當(dāng)x=3時(shí)，
y=-×9+2×3+=4，
∴D（3，4）．
當(dāng)y=0時(shí)，
-x²+2x+=0，
解得：x₁=-1，x₂=5．
∵A在B的左側(cè)，
∴A（-1，0），B（5，0）．
當(dāng)x=0時(shí)，y=2.5，
∴C（0，2.5）．
設(shè)AD的解析式為y=kx+b，由題意，得
，
解得：，
∴AD的解析式為：y=x+1（x≥-1）；

（2）∵y=x+1，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1，
∴tan∠DAB=1．
∵E（t，0）．
∴OE=t，
∴AE=t+1，EF=t+1，
∵四邊形EFGH是正方形，
∴EF=EH=GH=t+1，
∴G（2t+1，t+1）
①當(dāng)CO=OG時(shí)
（2t+1）²+（t+1）²=2.5²，
解得：t₁=0.5，t₂=-1.7（舍去），
∴正方形的邊長為0.5+1=1.5．
②當(dāng)GC=OC時(shí)
（2t+1）²+（t+1-2.5）²=2.5²，
解得：t₁=，t₂=（舍去）
∴正方形的邊長為+1=．
③當(dāng)OG=CG時(shí)，
（2t+1）²+（t+1）²=（2t+1）²+（t+1-2.5）²，
解得：t=，
∴正方形的邊長為+1=．
綜上所述，正方形的邊長為：1.5、1.6或；
（3）設(shè)BD的解析式為y=kx+b，由B、D的坐標(biāo)為：
，
解得：，
∴y=-2x+10
∴t+1=-2（2t+1）+10，
∴t=
∴①如圖1，當(dāng)0＜t≤時(shí)，S=（t+1）²=t²+2t+1；
②如圖2，當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)B重合時(shí)，即2t+1=5時(shí)，
t=2，
∴t+1=-2x+10，
∴x=4.5-t
∴＜t≤2時(shí)，S=-=-t²+t-
③如圖3，當(dāng)2＜t≤3時(shí)，S==-²+t+，
④如圖4，作DS⊥OB于S，
∴∠DSB=90°．
∵D（3，4），B（5，0），
∴OS=3，DS=4，OB=5，
∴BS=2，
∴tan∠DBS=2，
當(dāng)3＜t＜5時(shí)，
BE=5-t，
∴PE=2（5-t）
S==（t-5）²．
S=t²-10t+25，
如圖5，當(dāng)-1＜t≤0時(shí)，
∵E（t，0），
∴OE=-t，
∴AE=EF=1+t，
S=（t+1）²=t²+2t+1；
∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S=．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查拋物線的性質(zhì)的運(yùn)用，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的額解析式的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，多邊形的面積公式的運(yùn)用，動(dòng)點(diǎn)問題與二次函數(shù)的關(guān)系的運(yùn)用．