Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-2x-8分別與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（0，k）是y軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，3為半徑作⊙P．
（1）連接PA，若PA=PB，試判斷⊙P與x軸的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)k為何值時(shí)，⊙P與直線l相切；
（3）當(dāng)k為何值時(shí)，以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形？

Answer 1

分析：（1）通過(guò)一次函數(shù)可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及線段的長(zhǎng)，再在Rt△AOP利用勾股定理可求得當(dāng)PB=PA時(shí)k的值，再與圓的半徑相比較，即可得出⊙P與x軸的位置關(guān)系．
（2）過(guò)P點(diǎn)作PQ⊥AB，垂足為Q，根據(jù)△ABP的面積公式，利用面積法表示PQ，當(dāng)⊙P與直線l相切時(shí)，PQ=3，列方程求k即可．注意分兩種情況討論求解；
（3）根據(jù)正三角形的性質(zhì)，分兩種情況討論，
①當(dāng)圓心P在線段OB上時(shí)，②當(dāng)圓心P在線段OB的延長(zhǎng)線上時(shí)，從而求得k的值．

解答：解：（1）⊙P與x軸相切，
∵直線y=-2x-8與x軸交于A（-4，0），與y軸交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8．
由題意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k．
∵在Rt△AOP中，k²+4²=（8+k）²
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半徑．
∴⊙P與x軸相切．
由y=-2x-8得A（-4，0），B（0，-8），
由勾股定理，得PA=

16+k2

，
∵PB=k+8，由PA=PB，得

16+k2

=k+8，
解得k=-3，
∴⊙P與x軸相切；

（2）過(guò)P點(diǎn)作PQ⊥AB，垂足為Q，由PQ×AB=PB×OA，
PQ=

(k+8)×4

42+82

，
P在線段OB上，當(dāng)⊙P與直線l相切時(shí)，PQ=3，即

(k+8)×4

42+82

=3，
解得k=3

5

-8．
P在線段OB的延長(zhǎng)線上，k=-8-（3

5

-8+8）=-3

5

-8，⊙P與直線l相切

（3）設(shè)⊙P與直線l交于C，D兩點(diǎn)，連接PC，PD，
當(dāng)圓心P₁在線段OB上時(shí)，作P₁E⊥CD于E，
∵△P₁CD為正三角形，
∴DE=

1

2

CD=

3

2

，P₁D=3．
∴P₁E=

3 3

2

．
∵∠AOB=∠P₁EB=90°，∠ABO=∠P₁BE，
∴△AOB∽△P₁EB．
∴

AO

AB

=

P1E

P1B

，即

4

4 5

=

3 3 2

P1B

，
∴P₁B=

3 15

2

，（2分）
∴P₁O=BO-BP₁=8-

3 15

2

．
∴P₁（0，

3 15

2

-8）．
∴k=

3 15

2

-8．（2分）
當(dāng)圓心P₂在線段OB延長(zhǎng)線上時(shí)，
∵P₂B=

3 15

2

，
∴P₂O=BO+BP₂=

3 15

2

+8．
∴P₂（0，-

3 15

2

-8）．
∴k=-

3 15

2

-8．（2分）
∴當(dāng)k=

3 15

2

-8或k=-

3 15

2

-8時(shí)，以⊙P與直線l的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)圖象，圓的切線的判定，相似三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形等內(nèi)容，范圍較廣，題目較復(fù)雜．關(guān)鍵是由已知直線求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P點(diǎn)的坐標(biāo)，由線段相等，面積法分別列方程求解．