Question

已知：如圖，直線l：y=x+b，經(jīng)過點M（0，），一組拋物線的頂點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），B₃（3，y₃），…，B_n（n，y_n）（n為正整數(shù)）依次是直線l上的點，這組拋物線與x軸正半軸的交點依次是：A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0），…A_n+1（x_n+1，0），設x₁=d（0＜d＜1）．
（1）求b的值；
（2）求經(jīng)過點A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式（用含d的代數(shù)式表示）；
（3）定義：若拋物線的頂點與x軸的兩個交點構(gòu)成的三角形是直角三角形，則這種拋物線就稱為：“美麗拋物線”．探究：當d（0＜d＜1）的大小變化時，這組拋物線中是否存在美麗拋物線？若存在，請你求出相應的d的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把（0，）代入y=x+b中，可求出b的值；
（2）由（1）可得函數(shù)解析式，y=x+，把（1，y₁）代入一次函數(shù)式，可求出y₁，根據(jù)圖象可知，經(jīng)過A₁、B₁、A₂的二次函數(shù)的頂點就是B₁，故其對稱軸就是x=1，那么可設函數(shù)解析式為：y=a（x-1）²+，再把A₁的值代入函數(shù)式，可求出a的值，那么就可得到二次函數(shù)的解析式；
（3）存在．根據(jù)拋物線的對稱性，可知所得直角三角形必是等腰直角三角形，斜邊上的高等于斜邊的一半，再由d的取值范圍，可知斜邊小于2，再把x=1，x=2，x=3…代入一次函數(shù)中，可求出相應y的值，看哪些小于1，即是所求，然后再求出d的相應數(shù)值．
解答：解：（1）∵M（0，）在y=x+b上，
∴=×0+b，
∴b=；（2分）

（2）由（1）得：y=x+，
∵B₁（1，y₁）在l上，
∴當x=1時，，
∴．（3分）
解法一：
∴設拋物線表達式為：y=a（x-1）²+（a≠0），（4分）
又∵x₁=d，
∴A₁（d，0），
∴0=a（d-1）²+，
∴a=-，（5分）
∴經(jīng)過點A₁、B₁、A₂的拋物線的解析式為：
y=-（x-1）²+．（6分）
解法二：
∵x₁=d，
∴A₁（d，0），A₂（2-d，0），
∴設y=a（x-d）•（x-2+d）（a≠0），（4分）
把代入：=a（1-d）•（1-2+d），
得，（5分）
∴拋物線的解析式為y=-（x-d）•（x-2+d）；（6分）

（3）存在美麗拋物線．（7分）
由拋物線的對稱性可知，所構(gòu)成的直角三角形必是以拋物線頂點為直角頂點的等腰直角三角形，
∴此等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半，
又∵0＜d＜1，
∴等腰直角三角形斜邊的長小于2，
∴等腰直角三角形斜邊上的高必小于1，即拋物線的頂點的縱坐標必小于1．
∵當x=1時，，
當x=2時，，
當x=3時，，
∴美麗拋物線的頂點只有B₁、B₂．（8分）
①若B₁為頂點，由，則；（9分）
②若B₂為頂點，由，則，
綜上所述，d的值為或時，存在美麗拋物線．（10分）
點評：本題主要考查了利用了二次函數(shù)的對稱性，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，要結(jié)合圖形進行分析．