Question

二次函數(shù)y=x²的圖象如圖所示，過y軸上一點(diǎn)M（0，2）的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D．
（1）當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）在（1）的情況下，分別過點(diǎn)A，B作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，在EF上是否存在點(diǎn)P，使∠APB為直角？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)A與點(diǎn)O不重合），求AC•BD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知二次函數(shù)解析式，及A點(diǎn)橫坐標(biāo)-2，可求A點(diǎn)縱坐標(biāo)，故MC=2-=，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，x²），由Rt△BDM∽Rt△ACM，得相似比，可求x的值，確定B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若∠APB=90°，利用互余關(guān)系可得出△AEP∽△PFB，設(shè)EP=a，則PF=10-a，而AE=，BF=8，利用相似比可求A，可得P的坐標(biāo)；
（3）依題意設(shè)A（m，m²），B（n，n²），且m＜0，n＞0，由Rt△BDM∽Rt△ACM，類似（1），用含m，n的式子表示相關(guān)線段的長，利用相似比得出m，n的關(guān)系式，此時(shí)AC•BD=-mn．
解答：解：（1）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，x²），其中x＞0．
∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2，
∴A（-2，）．（2分）
∵AC⊥y軸，BD⊥y軸，M（0，2），
∴AC∥BD，MC=，MD=x²-2．
∴Rt△BDM∽Rt△ACM．
∴．
即．
解得x₁=-2（舍去），x₂=8．
∴B（8，8）．（5分）

（2）存在．（6分）
連接AP，BP，
由（1），AE=，BF=8，EF=10．
設(shè)EP=a，則PF=10-a．
∵AE⊥x軸，BF⊥x軸，∠APB=90°，
∴△AEP∽△PFB．
∴，
∴．
解得a=5±．
經(jīng)檢驗(yàn)a=5±均為原方程的解，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3+，0）或（3-，0）．（8分）

（3）根據(jù)題意，設(shè)A（m，m²），B（n，n²），不妨設(shè)m＜0，n＞0．
由（1）知，
則或．
化簡，得（mn+16）（m-n）=0．
∵m-n≠0，
∴mn=-16．
∴AC•BD=16．（10分）
點(diǎn)評：本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)求法，相似三角形的判定及性質(zhì)運(yùn)用，要求掌握點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長的關(guān)系；
本題（1）也可以先求直線AM的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立，求B點(diǎn)坐標(biāo)．