Question

（2013•云南）如圖，四邊形ABCD是等腰梯形，下底AB在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，直線AC與y軸交于點(diǎn)E（0，1），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，3）．
（1）求A、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A、D、C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在y軸上是否在點(diǎn)P，使△ACP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出直線EC的解析式，確定點(diǎn)A的坐標(biāo)；然后利用等腰梯形的性質(zhì)，確定點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（3）滿足條件的點(diǎn)P存在，且有多個(gè)，需要分類討論：
①作線段AC的垂直平分線，與y軸的交點(diǎn)，即為所求；
②以點(diǎn)A為圓心，線段AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，即為所求；
②以點(diǎn)C為圓心，線段CA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)，即為所求．

解答：解：（1）設(shè)直線EC的解析式為y=kx+b，根據(jù)題意得：

b=1 2k+b=3

，解得

k=1 b=1

，
∴y=x+1，
當(dāng)y=0時(shí)，x=-1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0）．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，C（2，3），
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，3）．

（2）設(shè)過(guò)A（-1，0）、D（0，3）、C（2，3）三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，則有：

a-b+c=0 c=3 4a+2b+c=3

，解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴拋物線的關(guān)系式為：y=-x²+2x+3；

（3）存在．
①作線段AC的垂直平分線，交y軸于點(diǎn)P₁，交AC于點(diǎn)F．
∵OA=OE，∴△OAE為等腰直角三角形，∠AEO=45°，
∴∠FEP₁=∠AEO=45°，∴△FEP₁為等腰直角三角形．
∵A（-1，0），C（2，3），點(diǎn)F為AC中點(diǎn)，
∴F（

1

2

，

3

2

），
∴等腰直角三角形△FEP₁斜邊上的高為

1

2

，
∴EP₁=1，
∴P₁（0，2）；
②以點(diǎn)A為圓心，線段AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸于點(diǎn)P₂，P₃．
可求得圓的半徑長(zhǎng)AP₂=AC=3

2

．
連接AP₂，則在Rt△AOP₂中，
OP₂=

AP22-OA2

=

(3 2 )2-12

=

17

，
∴P₂（0，

17

）．
∵點(diǎn)P₃與點(diǎn)P₂關(guān)于x軸對(duì)稱，∴P₃（0，-

17

）；
③以點(diǎn)C為圓心，線段CA長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交y軸于點(diǎn)P₄，P₅，則圓的半徑長(zhǎng)CP₄=CA=3

2

，
在Rt△CDP₄中，CP₄=3

2

，CD=2，
∴DP₄=

CP42-CD2

=

(3 2 )2-22

=

14

，
∴OP₄=OD+DP₄=3+

14

，
∴P₄（0，3+

14

）；
同理，可求得：P₅（0，3-

14

）．
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P有5個(gè)，分別為：P₁（0，2），P₂（0，

17

），P₃（0，-

17

），P₄（0，3+

14

），P₅（0，3-

14

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰三角形的判定、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)．難點(diǎn)在于第（3）問(wèn)，符合條件的點(diǎn)P有多個(gè)，需要分類討論，避免漏解；其次注意解答中確定等腰三角形的方法，即作垂直平分線、作圓來(lái)確定等腰三角形．