Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC，以AB為直徑作圓O恰好與CD相切于E，連AC、BD相交于F，連EF．
（1）求證：AB²=4AD•BC
（2）求證：EF∥BC

Answer 1

證明：（1）作DH⊥BC于H，如圖，
∵梯形ABCD為直角梯形，且AD∥BC，
∴四邊形ABHD為矩形，
∴DH=AB，AD=BH，
∴CH=CB-AD，
∵以AB為直徑作圓O恰好與CD相切于E，
∴DA、CB都是⊙O的切線，
∴DE=DA，CE=CB，
∴DC=DA+CB，
在Rt△DHC中，DH²=DC²-CH²，
∴AB²=（AD+BC）²-（BC-AD）²，
∴AB²=4AD•BC；
（2）∵AD∥BC，
∴△FDA∽△FBC，
∴=，
而DE=AD，EC=BC，
∴=，
∴EF∥BC．
分析：（1）作DH⊥BC于H，根據(jù)直角梯形的性質(zhì)易得四邊形ABHD為矩形，則DH=AB，AD=BH，于是CH=CB-AD，由以AB為直徑作圓O恰好與CD相切于E，根據(jù)切線的判定定理得到DA、CB都是⊙O的切線，然后根據(jù)切線長定理得到DE=DA，CE=CB，即DC=DA+CB，在Rt△DHC中，利用勾股定理有DH²=DC²-CH²，即AB²=（AD+BC）²-（BC-AD）²，化簡即可得到結(jié)論；
（2）由AD∥BC，根據(jù)三角形相似的判定方法易得△FDA∽△FBC，則=，而DE=AD，EC=BC，于是有=，根據(jù)平行線分線段成比例定理的逆定理即可得到EF∥BC．
點評：本題考查了圓的綜合題：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等；運用平行線分線段成比例定理的逆定理可解決線段平行的問題；運用相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理可解決線段之間的關(guān)系．