Question

（2012•綏化）如圖，四邊形ABCD為矩形，C點(diǎn)在x軸上，A點(diǎn)在y軸上，D點(diǎn)坐標(biāo)是（0，0），B點(diǎn)坐標(biāo)是（3，4），矩形ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)A落在BC邊上的G處，E、F分別在AD、AB上，且F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）．
（1）求G點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求直線EF解析式；
（3）點(diǎn)N在x軸上，直線EF上是否存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊性質(zhì)可知FG=AF=2，而FB=AB-AF=1，則在Rt△BFG中，利用勾股定理求出BG的長，從而得到CG的長，從而得到G點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由題意，可知△AEF為含30度角的直角三角形，從而可求出E點(diǎn)坐標(biāo)；又F點(diǎn)坐標(biāo)已知，所以可利用待定系數(shù)法求出直線EF的解析式；
（3）本問關(guān)鍵是確定平行四邊形的位置與形狀．因?yàn)镸、N均為動(dòng)點(diǎn)，只有FG已經(jīng)確定，所以可從此入手，按照FG為一邊、FG為對(duì)角線的思路，順序探究可能的平行四邊形的形狀．確定平行四邊形的位置與形狀之后，利用全等三角形求得M點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再利用直線解析式求出M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，從而求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由已知得，F(xiàn)G=AF=2，F(xiàn)B=1
∵四邊形ABCD為矩形
∴∠B=90°
BG=

FG2-FB2

=

22-12

=

3

∴G點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4-

3

）；
 
（2）設(shè)直線EF的解析式是y=kx+b
在Rt△BFG中，cos∠BFG=

FB

FG

=

1

2

∴∠BFG=60°
∴∠AFE=∠EFG=60°
∴AE=AFtan∠AFE=2tan60°=2

3

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4-2

3

）
又F點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，4）
∴

b=4-2 3 2k+b=4

解得k=

3

，b=4-2

3

；
∴直線EF的解析式為y=

3

x+4-2

3

；
注：
求E點(diǎn)坐標(biāo)方法二：過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，利用△BFG∽△PGE得到OE=4-2

3

，所以E（0，4-2

3

）；
求E點(diǎn)坐標(biāo)方法三：過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P，在Rt△GEP中，由勾股定理得EG²=GP²+EP²，得到OE=4-2

3

，所以E（0，4-2

3

）；
求E點(diǎn)坐標(biāo)方法四：連接AG，證△AEG是等邊三角形，得到OE=4-2

3

，所以E（0，4-2

3

）．

（3）若以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，則可能存在以下情形：
①FG為平行四邊形的一邊，且N點(diǎn)在x軸正半軸上，如圖1所示．
過M₁點(diǎn)作M₁H⊥x軸于點(diǎn)H，
∵M(jìn)1N1∥FG，
∴∠HN1M1=∠HQF，
又∵AB∥OQ，
∴∠HQF=∠BFG，
∴∠HN₁M₁=∠BFG
又∵∠M₁HN₁=∠B=90°，M₁N₁=FG，
∴△M₁HN₁≌△GBF，
∴M₁H=GB=

3

，即y_M1=

3

．
由直線EF解析式y(tǒng)=

3

x+4-2

3

，求出x_M1=3-

4 3

3

．
∴M₁（3-

4 3

3

，

3

）；
②FG為平行四邊形的一邊，且N點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上，如圖2所示．
仿照與①相同的辦法，可求得M₂（1-

4 3

3

，-

3

）；
③FG為平行四邊形的對(duì)角線，如圖3所示．
過M₃作FB延長線的垂線，垂足為H．易證△M₃FH≌△GN₃C，則有M₃H=CG=4-

3

，所以M₃的縱坐標(biāo)為8-

3

；
代入直線EF解析式，得到M₃的橫坐標(biāo)為1+

4 3

3

．
∴M₃（1+

4 3

3

，8-

3

）．
綜上所述，存在點(diǎn)M，使以M、N、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．
點(diǎn)M的坐標(biāo)為：M₁（3-

4 3

3

，

3

），M₂（1-

4 3

3

，-

3

），M₃（1+

4 3

3

，8-

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角坐標(biāo)系中一次函數(shù)與平面圖形的性質(zhì)，涉及到的考點(diǎn)包括待定系數(shù)法求一次函數(shù)（直線）解析式、矩形、平行四邊形、直角三角形、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等，對(duì)解題能力要求較高．難點(diǎn)在于第（3）問，這是一個(gè)存在性問題，注意平行四邊形有三種可能的情形，需要一一分析并求解，避免遺漏．