Question

如圖，已知直線l₁、l₂的函數(shù)關(guān)系式分別為y=-

4

3

x+b，y=-x+3；直線l₂與x軸的交點為A，與y軸的交點為B，若將坐標原點O沿直線l₂翻折，落點恰好在直線l₁上，那么直線l₁、l₂及x軸、y軸所圍成的圖形面積是

111

8

．

Answer 1

分析：設(shè)出原點與直線l₂的對稱點O′的坐標（c，d），然后根據(jù)直線l₂是線段OO′的垂直平分線，得到斜率乘積為-1且OO′的中點在直線l₂上，分別列出兩個關(guān)于c與d的方程，聯(lián)立兩個方程即可求出c與d的值，寫出O′的坐標；然后將O′的坐標代入直線l₁的函數(shù)關(guān)系式求得點C、D的坐標．所以所求圖形的面積=△COD的面積-△BOA的面積．

解答：解：∵直線l₂的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3，
∴易求A（3，0），B（0，3）．則OA=OB=3．
∴S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×3×3=

9

2

；
設(shè)原點O關(guān)于直線y=-x+3的對稱點坐標為O′（c，d），直線y=-x+3的斜率k=-1，
∵直線OO′與直線y=-x+3垂直，
∴k_OO′=1=

d

c

，即c=d①；
又∵OO′的中點Q在直線y=-x+3上，Q（

c

2

，

d

2

），代入直線直線y=-x+3得：d+c=6②，
聯(lián)立①②解得：c=3，d=3，
∴點O′的坐標為（3，3），
∵點O′在直線y=-

4

3

x+b上，
∴3=-4+b，
解得b=7，
則易求C（

21

4

，0），D（0，7）．
∴OC=

21

4

，OD=7，
∴S_△COD=

1

2

OC•OD=

1

2

×

21

4

×7=

147

8

，
∴直線l₁、l₂及x軸、y軸所圍成的圖形面積，即S_{四邊形ABCD}=S_△COD-S_△BOA=

147

8

-

9

2

=

111

8

．
故答案是：

111

8

．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，其中涉及到的知識點有待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標與圖形的性質(zhì)以及軸對稱圖形的性質(zhì)．難度較大，需要學生掌握一定的綜合知識．