Question

已知拋物線y=-

1

2

x2+mx過點(diǎn)（8，0），
（1）求m的值；
（2）如圖a，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使點(diǎn)C、D落在拋物線上，點(diǎn)A、B落在x軸上，設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，求L的最大值；
（3）如圖b，拋物線的頂點(diǎn)為E，對(duì)稱軸與直線y=-x+1交于點(diǎn)F．將直線EF向右平移n個(gè)單位后（n＞0），交直線y=-x+1于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，若以E、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求n的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線y=-

1

2

x2+mx過點(diǎn)（8，0），直接代入求出m即可；
（2）利用配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出A點(diǎn)坐標(biāo)，以及D點(diǎn)坐標(biāo)，再利用二次函數(shù)的最值求出即可；
（3）根據(jù)①當(dāng)四邊形EFNM是平行四邊形以及②當(dāng)四邊形EFMN是平行四邊形分別求出即可．

解答：解：（1）
∵拋物線y=-

1

2

x2+mx過點(diǎn)（8，0），
∴0=-

1

2

×64+8m，
∴m=4，

（2）拋物線y=-

1

2

x2+4x=-

1

2

(x-4)2+8，
設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則AB=8-2m，D（m，-

1

2

m2+4m），
∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2（AD+AB）=2（8-2m-

1

2

m2+4m）=-（m-2）²+20，
∵a=-1＜0，∴當(dāng)m=2，矩形ABCD的周長(zhǎng)的最大值為20，

（3）直線EF向右平移n個(gè)單位（n＞0）使得E、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
直線MN的解析式為x=4+n，直線MN與直線y=-x+1交于點(diǎn)M（4+n，-n-3），
又∵E（4，8），F(xiàn)（4，-3），
∴E通過向右平移11個(gè)單位得到F．
∵E、F、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
∴四邊形FEMN是平行四邊形或四邊形EFNM是平行四邊形．
①當(dāng)四邊形EFNM是平行四邊形，∴M向右平移11個(gè)單位得N，
∴N坐標(biāo)為（4+n，-n-14），
又N在拋物線y=-

1

2

x2+4x上，
∴n²-2n-44=0，
解得n1=1+3

5

，n2=1-3

5

（不合題意，舍去）    
②當(dāng)四邊形EFMN是平行四邊形，∴M向右平移11個(gè)單位得N，
∴N坐標(biāo)為（4+n，-n+8），
又N在拋物線y=-

1

2

x2+4x上，
∴n²-2n=0，
解得n₁=2，n₂=0（不合題意，舍去），
∴n的值為2，1+3

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及平行四邊形的性質(zhì)和點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，利用分類討論得出n的不同值是解題關(guān)鍵．