Question

已知拋物線y=ax²+6ax+c交x軸負(fù)半軸于A，B兩點(diǎn)，以AB為邊的矩形ABCD的頂點(diǎn)C，D在第二象限，過D點(diǎn)的直線y=ax+3a與x軸交于E．
（1）求S_△ADE：S_矩形ABCD；
（2）當(dāng)S_△ADE=1，且拋物線的頂點(diǎn)在CD邊上時(shí)，求拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△APB為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）易知：拋物線的對(duì)稱軸為x=-3，E（-3，0）；
則E點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱軸上，
即AE=BE=AB；
由于S_△ADE=AE•AD=AB•AD=S_矩形ABCD；
故S_△ADE：S_矩形ABCD=1：4．

（2）由（1）知：S_矩形ABCD=4S_△ADE=4；
∴AB═BC=2，
∵E（-3，0），
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-3，2），B（-2，0），
設(shè)y=a（x+3）²+2，
∴a+2=0，
解得：a=-2，
∴拋物線的解析式為：y=-2（x+3）²+2=-2x²-12x-16．

（3）根據(jù)（2）得A（-4，0），B（-2，0）；
設(shè)P（x，-2x²-12x-16），
由于∠PAB和∠PBA都不可能是直角，
則只有一種情況：AP⊥PB，
∵互相垂直的兩條直線的斜率的積等于-1，
∴，
整理得：4x²+24x+33=0，
解得x=，
代入拋物線的解析式中，可得P點(diǎn)坐標(biāo)為：
P（，）或（，）．
分析：（1）根據(jù)拋物線的解析式可得，拋物線的對(duì)稱軸為x=-3，由直線DE的解析式可得E（-3，0），因此點(diǎn)E正好在拋物線的對(duì)稱軸上，即AE=AB，然后分別表示出△ADE和矩形的面積，即可得到它們的比例關(guān)系．
（2）利用拋物線的解析式，可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到AB、AD的長(zhǎng)，然后分別表示出△ADE和矩形的面積表達(dá)式，聯(lián)立兩式即可求得a、c的值．
（3）根據(jù)拋物線的解析式可得到A、B的坐標(biāo)，顯然A、B都不可能是直角頂點(diǎn)，那么只有一種可能，即∠APB=90°，可設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用AP⊥BP，即兩直線的斜率的積為-1即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的性質(zhì)、拋物線的對(duì)稱性、圖形面積的計(jì)算方法、二次函數(shù)解析式的確定以及直角三角形的判定方法等知識(shí)，由于此題的數(shù)據(jù)大都是未知數(shù)，而且計(jì)算量較大，因此難度也較大．