Question

已知：如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，E是線段BC上的一點，直線AE交DC的延長線于點F．
（1）求證：△ABE∽△FCE；
（2）若BC⊥AF，且BC=9，BE=2CE，AB=10，
①求AF的長；
②若△ABE與△FDA相似，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）由AB∥CD，可以得出有兩組角對應相等，從而判定△ABE∽△FCE；
（2）①先根據已知求出BE，CE，再根據勾股定理求出AE的長，根據相似三角形的性質求出EF的長，從而求出AF的長；
②根據相似三角形的性質求出AD的長．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴∠F=∠FAB，∠FCB=∠B．
∴△ABE∽△FCE；

（2）①∵BC=9，BE=2CE，
∴BE=6，CE=3，
∵BC⊥AF，AB=10，
∴AE=

102-62

=8，
∵△ABE∽△FCE，
∴EF：EA=CE：BE，
∴EF=3×8÷6=4．
∴AF=8+4=12．
故AF的長為12．
②∵△ABE與△FDA相似，
∴AD：BE=AF：AE，
∴AD=12×6÷8=9．
故AD的長為9．

點評：本題考查相似三角形的判定．識別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對應邊、對應角．本題同時考查了相似三角形的性質及勾股定理．