Question

（1）如圖（1）點P是正方形ABCD的邊CD上一點（點P與點C，D不重合），點E在BC的延長線上，且CE=CP，連接BP，DE．求證：△BCP≌△DCE；
（2）直線EP交AD于F，連接BF，F(xiàn)C．點G是FC與BP的交點．
①若CD=2PC時，求證：BP⊥CF；
②若CD=n•PC（n是大于1的實數(shù)）時，記△BPF的面積為S₁，△DPE的面積為S₂．求證：S₁=（n+1）S₂．

Answer 1

證明：（1）∵在△BCP與△DCE中，，
∴△BCP≌△DCE（SAS）。
（2）①∵CP=CE，∠PCE=90°，∴∠CPE=45°。∴∠FPD=∠CPE=45°。∴∠PFD=45°。∴FD=DP。
∵CD=2PC，∴DP=CP。∴FD=CP。
∵在△BCP與△CDF中，，
∴△BCP≌△CDF（SAS）。
∴∠FCD=∠CBP。
∵∠CBP+∠BPC=90°，∴∠FCD+∠BPC=90°。
∴∠PGC=90°，即BP⊥CF。
②設CP=CE=1，則BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，
易知△FDP為等腰直角三角形，∴FD=DP=n﹣1。

，
，
∴S₁=（n+1）S₂

試題分析：（1）由SAS即可證明△BCP≌△DCE。
（2）①在（1）的基礎上，再證明△BCP≌△CDF，進而得到∠FCD+∠BPC=90°，從而證明BP⊥CF。
②設CP=CE=1，則BC=CD=n，DP=CD﹣CP=n﹣1，分別求出S₁與S₂的值，得，，所以S₁=（n+1）S₂結(jié)論成立�！�