Question

給出下列命題：
命題1：點（1，1）是直線y=x與雙曲線y=

1

x

的一個交點；
命題2：點（2，4）是直線y=2x與雙曲線y=

8

x

的一個交點；
命題3：點（3，9）是直線y=3x與雙曲線y=

27

x

的一個交點；
（1）請觀察上面命題，猜想出命題n（n是正整數(shù)）；
（2）證明你猜想的命題n是正確．

Answer 1

分析：（1）由已知的命題1，命題2，命題3要猜想出命題n，首先要發(fā)現(xiàn)它們的共同點或不變的內(nèi)容：敘述的都是點（x，y）是直線y=kx與雙曲線y=

m

x

的交點，然后要找到它們變化的內(nèi)容及變化的規(guī)律：這個點的坐標在變，其中橫坐標x=n，縱坐標y=n²；直線的解析式在變，其中k=n，雙曲線的解析式也在變，其中m=n³．從而寫出命題n；
（2）把x=n分別代入y=nx與y=

n3

x

，分別計算出對應(yīng)的y值，然后與n²比較即可．

解答：解：（1）命題n：點（n，n²）是直線y=nx與雙曲線y=

n3

x

的一個交點（n是正整數(shù)）；

（2）把

x=n y=n2

代入y=nx，左邊=n²，右邊=n•n=n²，
∵左邊=右邊，
∴點（n，n²）在直線上．（2分）
同理可證：點（n，n²）在雙曲線上，
∴點（n，n²）是直線y=nx與雙曲線y=

n3

x

的一個交點，命題正確．（1分）

點評：對于這類尋找規(guī)律的題目，首先要仔細研究已知條件，找到它們的共同點，發(fā)現(xiàn)它們變化的內(nèi)容及變化的規(guī)律，才能由特殊推到一般，從而得到正確結(jié)論．注意總結(jié)出的一般規(guī)律應(yīng)滿足題目給出的特殊子，此法也常用來檢驗總結(jié)出的一般規(guī)律是否正確．本題考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力．