Question

如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，那么稱這個(gè)三角形為“勻稱三角形”

（1）已知：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，,.

求證：△ABC是“勻稱三角形”；

                                                                 圖1

（2）在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如果三角形的一邊在x軸上，且這邊的中線恰好等于這邊的長(zhǎng)，我們又稱這個(gè)三角形為“水平勻稱三角形”.如圖2，現(xiàn)有10個(gè)邊長(zhǎng)是1的小正方形組成的長(zhǎng)方形區(qū)域記為G, 每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D兩點(diǎn)與O不重合）是x軸上的格點(diǎn)，且點(diǎn)C在點(diǎn)A的左側(cè). 在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點(diǎn)P共有幾個(gè)？其中是否存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P，如果存在請(qǐng)求出這個(gè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在請(qǐng)說明理由.

Answer 1

解：

解：（1） 如圖1，作AC邊的中線BD交AC于點(diǎn)D，

∵∠C=90°，BC= 2，AB = 2，

∴AC =  = 4.

∴AD=CD=2.

BD =  = 4

∴AC = BD，

∴ △ABC是“勻稱三角形”

（2）①在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點(diǎn)P共有  4  個(gè)

②在G內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點(diǎn)P中，存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P.

如圖，當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）與A重合時(shí)，△PAC與△PBD是水平勻稱三角形.

∵A（3，0），C（2，0），

B（4，0），D（3，0）

∴AC＝1，BD＝1

設(shè)PM、PN分別為CA、DB上的中線,

∴AM＝ AC＝ ，

AN＝  BD＝ ,

∴AM＝AN=

∴點(diǎn)A為MN的中點(diǎn).

∵△PAC與△PBD是“水平勻稱三角形”

∴PM＝AC＝1，PN＝BD＝1

∴PM＝PN=1     

∴PA⊥MN，即PA與x軸垂直  

∵A（3，0）

∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)3.

在Rt△PMA中，PM＝1，AM＝

∴PA＝

∴P（3， ）

所以，當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）與A重合時(shí)，△PAC與△PBD是水平勻稱三角形且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù).

解法2. 在長(zhǎng)方形區(qū)域內(nèi)使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點(diǎn)P中，存在橫坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)P.

如圖，當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）與A重合，P點(diǎn)橫坐標(biāo)為3時(shí)

∵A（3，0），P點(diǎn)橫坐標(biāo)為3

∴PA與x軸垂直

∵A（3，0），C（2，0），

B（4，0），D（3，0）

∴AC＝1，BD＝1

設(shè)AC中點(diǎn)為M，BD中點(diǎn)為N.

∴AM＝AC＝，AN＝ BD＝

∴AM＝AN

要使△PAC與△PBD是水平勻稱三角形

只需PM＝AC＝1，PN＝BD＝1

∵PA與x軸垂直

在Rt△PMA中，PM＝1，AM＝

∴PA＝

∴P（3，）

所以，當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）與A重合，△PAC與△PBD是水平勻稱三角形且P點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù).