Question

如圖，在?ABCD中，分別以AB、AD為邊向外作等邊△ABE、△ADF，延長CB交AE于點(diǎn)G，點(diǎn)G在點(diǎn)A、E之間，連接CE、CF，EF，則以下四個結(jié)論一定正確的是（ ）
①△CDF≌△EBC；②∠CDF=∠EAF；③△ECF是等邊△；④CG⊥AE．

A．只有①②
B．只有①②③
C．只有③④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，結(jié)合圖形，對選項(xiàng)一一求證，判定正確選項(xiàng)．
解答：解：∵△ABE、△ADF是等邊三角形
∴FD=AD，BE=AB
∵AD=BC，AB=DC
∴FD=BC，BE=DC
∵∠B=∠D，∠FDA=∠ABE
∴∠CDF=∠EBC
∴△CDF≌△EBC，故①正確；
∵∠FAE=∠FAD+∠EAB+∠BAD=60°+60°+（180°-∠CDA）=300°-∠CDA，
∠FDC=360°-∠FDA-∠ADC=300°-∠CDA，
∴∠CDF=∠EAF，故②正確；
同理可得：∠CBE=∠EAF=∠CDF，
∵BC=AD=AF，BE=AE，
∴△EAF≌△EBC，
∴∠AEF=∠BEC，
∵∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°，
∴∠FEC=60°，
∵CF=CE，
∴△ECF是等邊三角形，故③正確；
在等邊三角形ABE中，
∵等邊三角形頂角平分線、底邊上的中線、高和垂直平分線是同一條線段
∴如果CG⊥AE，則G是AE的中點(diǎn)，∠ABG=30°，∠ABC=150°，題目缺少這個條件，CG⊥AE不能求證，故④錯誤．
故選B．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，綜合性強(qiáng)．考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的能力．