Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，點E是弧BD上一點，EF⊥AD于點F，且EF是⊙O的切線．
（1）求證：弧DE=弧BE；
（2）連接BE，若tan∠DAB=，求tan∠B的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖，連接OD、OE．欲證明弧DE=弧BE，只需證明∠5=∠4；
（2）連接BD，AE，根據(jù)直角△ABD中，tan∠DAB==，可以設(shè)BD=12a，則AD=5a，根據(jù)弧DE=弧BE，可以得到OE垂直平分BD，則在直角△OMB中，利用勾股定理即可求得OM，然后在直角△BEM中，利用勾股定理求得BE的長，在直角△ABE中利用勾股定理求得AE的長，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．
解答：解：（1）如圖，連接OD、OE．
∵OA=OD，
∴∠1=∠2．
∵AB是⊙O的直徑，EF是⊙O的切線，
∴OE⊥EF．
又∵EF⊥AD于點F，
∴AF∥OE，
∴∠1=∠5，∠2=∠4，
∴∠5=∠4，
∴弧DE=弧BE；

（2）連接BD，AE，
∵AB是圓的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵直角△ABD中，tan∠DAB==，
∴設(shè)BD=12a，則AD=5a，
則直徑AB==13a，
∵弧DE=弧BE；
∴BM=BD=6a，OE⊥BD，
∴在直角△ONM中，OM===a，
∴ME=OE-OM=6.5a-a=4a，
在直角△BEM中，BE===2a，
在直角△ABE中，AE===a，
∴tan∠B===．
點評：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理以及勾股定理，三角函數(shù)，正確理解三角函數(shù)的定義，作出輔助線是關(guān)鍵．