Question

29、如圖：在正方形ABCD中，點(diǎn)P、Q是CD邊上的兩點(diǎn)，且DP=CQ，過(guò)D作DG⊥AP于H，交AC、BC分別于E，G，AP、EQ的延長(zhǎng)線相交于R．
（1）求證：DP=CG；
（2）判斷△PQR的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）正方形對(duì)角線AC是對(duì)角的角平分線，可以證明△ADP≌△DCG，即可求證DP=CG．
（2）由（1）的結(jié)論可以證明△CEQ≌△CEG，進(jìn)而證明∠PQR=∠QPR．故△PQR為等腰三角形．

解答：解：（1）證明：在正方形ABCD中，
AD=CD，∠ADP=∠DCG=90°，
∠CDG+∠ADH=90°，
∵DH⊥AP，∴∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠CDG=∠DAH，
∴△ADP≌△DCG，
∵DP，CG為全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，
∴DP=CG．

（2）△PQR為等腰三角形．
∠QPR=∠DPA，∠PQR=∠CQE，
∵CQ=DP，由（1）的結(jié)論可知
∴CQ=CG，∵∠QCE=∠GCE，CE=CE，
∴△CEQ≌△CEG，即∠CQE=∠CGE，
∴∠PQR=∠CGE，
∵∠QPR=∠DPA，且（1）中證明△ADP≌△DCG，
∴∠PQR=∠QPR，
所以△PQR為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題中證明△ADP≌△DCG是關(guān)鍵，并且利用（1）的結(jié)論來(lái)證明（2）的推論．本題考查的是正方形對(duì)角線即角平分線，考查全等三角形的證明，并把所求角轉(zhuǎn)換為全等三角形對(duì)應(yīng)角進(jìn)行求證．