Question

如圖①，有兩個(gè)形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起(點(diǎn)A與點(diǎn)E重合)，已知AC＝8 cm，BC＝6 cm，∠C＝90°，EG＝4 cm，∠EGF＝90°，O是△EFG斜邊上的中點(diǎn)．

如圖②，若整個(gè)△EFG從圖①的位置出發(fā)，以1 cm/s的速度沿射線AB方向平移，在△EFG平移的同時(shí)，點(diǎn)P從△EFG的頂點(diǎn)G出發(fā)，以1 cm/s的速度在直角邊GF上向點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)，△EFG也隨之停止平移．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，F(xiàn)G的延長(zhǎng)線交AC于H，四邊形OAHP的面積為y(cm²)(不考慮點(diǎn)P與G、F重合的情況)．

(1)當(dāng)x為何值時(shí)，OP∥AC？

(2)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量x的取值范圍．

(3)是否存在某一時(shí)刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．

(參考數(shù)據(jù)：114²＝12996，115²＝13225，116²＝13456或4.4²＝19.36，4.5²＝20.25，4.6²＝21.16)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵Rt△EFG∽R(shí)t△ABC，∴，． 　　∴FG＝＝3 cm．　　2分 　　∵當(dāng)P為FG的中點(diǎn)時(shí)，OP∥EG，EG∥AC，∴OP∥AC． 　　∴x＝＝×3＝1.5(s)． 　　∴當(dāng)x為1.5 s時(shí)，OP∥AC．4分 　　(2)在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF＝5 cm． 　　∵EG∥AH，∴△EFG∽△AFH． 　　∴． 　　∴． 　　∴AH＝(x＋5)，F(xiàn)H＝(x＋5)．　　6分 　　過點(diǎn)O作OD⊥FP，垂足為D． 　　∵點(diǎn)O為EF中點(diǎn)，∴OD＝EG＝2 cm． 　　∵FP＝3－x，∴S四邊形OAHP＝S△AFH－S△OFP 　�。�·AH·FH－·OD·FP 　�。�·(x＋5)·(x＋5)－×2×(3－x) 　　＝x2＋x＋3　　7分 　　(0＜x＜3)．　　8分 　　(3)假設(shè)存在某一時(shí)刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24． 　　則S四邊形OAHP＝×S△ABC 　　∴x2＋x＋3＝××6×8　　10分 　　∴6x2＋85x－250＝0 　　解得x1＝，x2＝－(舍去)． 　　∵0＜x＜3，∴當(dāng)x＝(s)時(shí)，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24．　　12分