Question

已知：如圖，AB為⊙O的直徑，⊙O過AC的中點D，DE⊥BC于點E．
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）若DE=2，tanC=，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，利用D是AC中點，O是AB中點，那么OD就是△ABC的中位線，利用三角形中位線定理，可知OD∥BC，而DE⊥BC，則∠DEC=90°，利用平行線的性質(zhì)，有∠ODE=∠DEC=90°，即DE是⊙O的切線；
（2）連接BD，由于AB是直徑，那么∠ADB=90°，即BD⊥AC，在△ABC中，點D是AC中點，于是BD是AC的垂直平分線，那么BA=BC，在Rt△CDE中，DE=2，tanC=，可求CE=4，再利用勾股定理可求CD=2，同理在Rt△CDB中，CD=2，tanC=，可求BD=，利用勾股定理可求BC=5，從而可知BA=BC=5．
解答：（1）證明：連接OD．
∵D為AC中點，O為AB中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴OD⊥DE于點D，
∴DE為⊙O的切線；

（2）解：連接DB，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴DB⊥AC，
∴∠CDB=90°
∵D為AC中點，
∴AB=BC，
在Rt△DEC中，
∵DE=2，tanC=，
∴EC=，
由勾股定理得：DC=，
在Rt△DCB中，BD=，
由勾股定理得：BC=5，
∴AB=BC=5，
∴⊙O的直徑為5．
點評：本題主要是作出合適的輔助線．利用了三角形中位線的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、切線的判定、直徑所對的圓周角等于90°、三角函數(shù)值、勾股定理．