Question

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P為BC的中點，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點落在點P，三角板繞P點旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點E、F時．求證：△BPE∽△CFP；
（2）操作：將三角板繞點P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點E、F．
①       探究１：△BPE與△CFP還相似嗎？（只需寫出結(jié)論）
②       探究２：連結(jié)EF，△BPE與△PFE是否相似？請說明理由；

Answer 1

（1）證明過程見解析，（2）①相似  ②相似，理由見解析解析:
(1) 證明：∵在△ABC中，
∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=150°，
∴∠EPF=30°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP（兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似）．
（2） ①相似  ②相似
解：①△BPE∽△CFP；②△BPE與△PFE相似．
下面證明結(jié)論：
同（1），可證△BPE∽△CFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 BP：BE=PF：PE．
又因為∠EBP=∠EPF，所以△BPE∽△PFE（兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似）．