Question

如圖，已知雙曲線與直線相交于A、B兩點．第一象限上的點M（m，n）（在A點左側(cè)）是雙曲線上的動點．過點B作BD∥y軸交x軸于點D．過N（0，-n）作NC∥x軸交雙曲線于點E，交BD于點C．
（1）若點A坐標(biāo)是（8，2），求B點坐標(biāo)及反比例函數(shù)解析式．
（2）過A點作AQ垂直于y軸交于Q點，設(shè)P點從D點出發(fā)沿D→C→N路線以1個單位長度的速度運動，DC長為4．求△AQP的面積S與運動時間t的關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）若B是CD的中點，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式．

Answer 1

解：（1）∵點A坐標(biāo)是（8，2），
∴B點坐標(biāo)為（-8，-2）．
∴k=xy=-8×（-2）=16，
∴y=；

（2）過A點作AQ垂直于y軸交于Q點，
設(shè)P點從D點出發(fā)延D→C→N路線以1個單位長度的速度運動，DC長為4，
∵點A坐標(biāo)是（8，2），
∴AQ=8，DP=t，QN=6，
∴當(dāng)0≤t≤4時，
S=t×AQ=4t，
當(dāng)4≤t≤10時，
S=×QN×AQ=×8×6=24；
∴△AQP的面積S與運動時間t的關(guān)系式為：
；
∴S的最大值為24；

（3）設(shè)B點坐標(biāo)為（x₁，-），代入y=x得，-=x₁，x₁=-2n；
∴B點坐標(biāo)為（-2n，-）．
因為BD∥y軸，所以C點坐標(biāo)為（-2n，-n）．
因為四邊形ODCN的面積為2n•n=2n²，三角形ODB，三角形OEN的面積均為，四邊形OBCE的面積為4．
則有2n²-k=4 ①；
又因為2n•=k，即n²=k ②
②代入①得，4=2k-k，解得k=4；則解析式為y=；
又因為n²=4，故n=2或n=-2．
M在第一象限，n＞0；
將M（m，2）代入解析式y(tǒng)=，得m=2．故M點坐標(biāo)為（2，2）；C（-4，-2）；
設(shè)直線CM解析式為y=kx+b，則，
解得
∴一次函數(shù)解析式為：y=x+．
分析：（1）根據(jù)A點的橫坐標(biāo)為（8，2），A、B兩點關(guān)于原點對稱，易得k的值；
（2）利用A，B兩點的坐標(biāo)得出AQ，CN的長，利用P在CD上和P在CN上分別得出即可，進(jìn)而得出面積最值即可；
（3）根據(jù)S_矩形DCNO=2mn=2k，S_△DBO=，S_△OEN=，即可得出k的值，進(jìn)而得出B，C點的坐標(biāo)，再求出解析式即可．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法函數(shù)解析式以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點的性質(zhì)，根據(jù)四邊形OBCE的面積為4得出k的值是解決問題的關(guān)鍵．