Question

如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延長線于點E.

（1）求證：∠BCA=∠BAD；

（2）求DE的長；

（3）求證:BE是⊙O的切線。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：∵BD=BA，∴∠BDA=∠BAD。

∵∠BCA=∠BDA（圓周角定理），

∴∠BCA=∠BAD。

（2）∵∠BDE=∠CAB（圓周角定理），∠BED=∠CBA=90°，

∴△BED∽△CBA，∴。

∵BD=BA =12，BC=5，∴根據(jù)勾股定理得：AC=13。

∴，解得：。

（3）證明：連接OB，OD，

在△ABO和△DBO中，∵，

∴△ABO≌△DBO（SSS）。

∴∠DBO=∠ABO。

∵∠ABO=∠OAB=∠BDC，∴∠DBO=∠BDC�！郞B∥ED。

∵BE⊥ED，∴EB⊥BO�！郞B⊥BE。

∵OB是⊙O的半徑，∴BE是⊙O的切線。

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)BD=BA得出∠BDA=∠BAD，再由圓周角定理∠BCA=∠BDA即可得出結(jié)論。

（2）判斷△BED∽△CBA，利用對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)可求出DE的長度。

（3）連接OB，OD，證明△ABO≌△DBO，推出OB∥DE，繼而判斷OB⊥DE，可得出結(jié)論。