Question

1．如圖1，等邊△ABC中，BC=4，點P從點B出發(fā)，沿BC方向運動到點C，點P關于直線AB、AC的對稱點分別為點M、N，連接MN．
【發(fā)現】
當點P與點B重合時，線段MN的長是4$\sqrt{3}$．
當AP的長最小時，線段MN的長是6；
【探究】
如圖2，設PB=x，MN²=y，連接PM、PN，分別交AB，AC于點D，E．
（1）用含x的代數式表示PM=$\sqrt{3}$x，PN=$\sqrt{3}$（4-x）；
（2）求y關于x的函數關系式，并寫出y的取值范圍；
（3）當點P在直線BC上的什么位置時，線段MN=3$\sqrt{7}$（直接寫出答案）
【拓展】
如圖3，求線段MN的中點K經過的路線長．
【應用】
如圖4，在等腰△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，BC=2，點P、Q、R分別為邊BC、AB、AC上（均不與端點重合）的動點，則△PQR周長的最小值是2+$\sqrt{3}$．
（可能用到的數值：sin75°=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，cos75°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，tan75°=2+$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 【發(fā)現】當點P為BC的中點時，MN最短，求出此時MN的長度，當點P與點B（或C）重合時，BN（或CM）最長，求出此時BN的長度；
【探究】（1）解直角三角形即可得到結論；
（2）如圖2，分別過點M，N作直線BC的垂線MF，NG，垂足分別是F，G，過點M作MH⊥NG垂足為H．解直角三角形得到MF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，PF=$\frac{3}{2}$x，NG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），PG=$\frac{3}{2}$（4-x），根據勾股定理即可得到結論；
（3）由MN=3$\sqrt{7}$，得到MN²=63，把y=63時代入3（x-2）²+36=63，即可得到結論；
【拓展】如圖3，分別過點M，N作直線BC的垂線MF，NG，垂足分別是F，G，連接MG，過MN的中點K，作KT⊥BC于點T，交MG于點S．由MF∥KT∥NG，且點K為MN的中點，得到KS是△MNG的中位線，ST是△GMF的中位線，由【探究】中的過程可知，若設PB=x，則有PC=4-x，MF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，NG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），根據三角形的中位線的性質即可得到結論；
【應用】過BC的中點P作AB，AC的對稱點M，N，連接MN交AB與Q，交AC于R，則此時△PQR周長最小，根據三角形和四邊形的內角和得到∠B=∠C=75°，∠MPN=150°，得到MN∥BC，PQ=PB=1，同理PR=PC=1，解直角三角形得到QR=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$PQ=$\sqrt{3}$，于是得到結論．

解答 解：【發(fā)現】當AP的長最小時，AP⊥BC，即點P為BC的中點時，
此時E、F分別為AB、AC的中點，
∴PE=$\frac{1}{2}$AC，PF=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；
當點P和點B重合時，
此時G（H）為AB（AC）的中點，
∴CG=2$\sqrt{3}$BH=2$\sqrt{3}$，
BN=4$\sqrt{3}$；
故答案為：4$\sqrt{3}$，6；

【探究】（1）PM=2PD=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$PB=$\sqrt{3}$x，PN=2PE=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$PC=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x）=$\sqrt{3}$（4-x）；
故答案為：$\sqrt{3}$x，$\sqrt{3}$（4-x）；
（2）如圖2，分別過點M，N作直線BC的垂線MF，NG，垂足分別是F，G，過點M作MH⊥NG垂足為H．
∵在Rt△PMF中，∠MPF=30°，PM=$\sqrt{3}$x，
∴MF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，PF=$\frac{3}{2}$x，
同理，在Rt△PNG中，∠NPG=30°，PN=$\sqrt{3}$（4-x），
∴NG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），PG=$\frac{3}{2}$（4-x），
∵四邊形MFGH是矩形，則有
NH=NG-HG=NG-MF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\sqrt{3}$（2-x），
MH=FG=PF+PG=$\frac{3}{2}$x+$\frac{3}{2}$（4-x）=6，
∴在Rt△MNH中，由勾股定理得，
MN²=NH²+MH²=3（x-2）²+36，
則y=3（x-2）²+36，
∵0≤x≤4，且當x=2時，y_最小值=36；當x=0或4時，y_最大值=48，
∴36≤y≤48；
（3）∵MN=3$\sqrt{7}$，MN²=63，
∴當y=63時，即3（x-2）²+36=63，
∴x=5或-1，
∴當點P在B點右側距離為5，或者在點P在B點左側距離為1的位置處，均有線段MN=3$\sqrt{7}$；

【拓展】如圖3，分別過點M，N作直線BC的垂線MF，NG，垂足分別是F，G，連接MG，過MN的中點K，作KT⊥BC于點T，交MG于點S．
∵MF∥KT∥NG，且點K為MN的中點，
∴KS是△MNG的中位線，
ST是△GMF的中位線，
由【探究】中的過程可知，若設PB=x，則有PC=4-x，MF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，NG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（4-x），
由三角形中位線性質可得，ST=$\frac{1}{2}$MF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x，KS=$\frac{1}{2}$NG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4-x），
∴KT=ST+KS=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$（4-x）=$\sqrt{3}$，
因此，在點P運動過程中，MN的中點 K到BC邊距離始終等于定值$\sqrt{3}$，且為
等邊△ABC高的一半，所以MN的中點K經過的路線恰為等邊△ABC的中位線，其路線長為2．

【應用】過BC的中點P作AB，AC的對稱點M，N，連接MN交AB與Q，交AC于R，
則此時△PQR周長最小，
∵∠BAC=30°，
∴∠B=∠C=75°，∠MPN=150°，
∴∠M=∠N=15°，
∴∠MQB=∠PQB=∠B=75°，
∴MN∥BC，PQ=PB=1，
同理PR=PC=1，
∵AP⊥BC，
∴AP⊥MN．
∵∠PQR=180°-75°-75°=30°，
∴QR=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$PQ=$\sqrt{3}$，
∴△PQR周長的最小值是2+$\sqrt{3}$．
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了軸對稱的性質，等邊三角形的性質，等腰三角形的性質，三角形的中位線的性質，解直角三角形，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．