Question

設(shè)是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿(mǎn)足不等式的實(shí)數(shù)的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為．對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量與函數(shù)值滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，有，我們就稱(chēng)此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”．

   （1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由；

   （2）若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式；

   （3）若二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值．

Answer 1

解：（1）是；

由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值隨著自變量的增大而減少，而當(dāng)時(shí)，；時(shí)，，故也有，

      所以，函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”.

（2）因?yàn)橐淮魏瘮?shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，所以根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，必有：

①當(dāng)時(shí)， ，解之得，，

②當(dāng)時(shí)， ，解之得，，

         故一次函數(shù)的解析式為或.     

（3）由于函數(shù)的圖象開(kāi)口向上，且對(duì)稱(chēng)軸為，

頂點(diǎn)為，由題意根據(jù)圖象，分以下三種情況討論：

①當(dāng)時(shí)，必有時(shí)，且時(shí)，，

即方程必有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，解得，

而分布在2的兩邊，這與矛盾，舍去；

         ②當(dāng)時(shí)，必有時(shí)，且 時(shí)，，

即

（1）-（2）得 代入（1）得 或 （舍去）,

故此時(shí)有滿(mǎn)足題意；

③ 當(dāng)時(shí)，必有函數(shù)值的最小值為，

            由于此二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，故必有，

            從而有，而當(dāng)時(shí)，，即得點(diǎn)；

 又點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，

由“閉函數(shù)”的定義可知必有，, 又由①知

故可得，符合題意.

綜上所述，,或，為所求的實(shí)數(shù).