Question

王老師在一次“探究性學習”課中，設(shè)計了如下數(shù)表：

n	2	3	4	5	…
a	22-1	32-1	42-1	52	…
b	4	6	8	10	…
c	22+1	32+1	42+1	52+1	…

（1）請你分別觀察a，b，c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n（n＞1）的代數(shù)式表示：a=

n²-1

，b=

2n

，c=

n²+1

．
（2）猜想：以a，b，c為邊的三角形是否為直角三角形？并證明你的猜想？
（3）觀察下列勾股數(shù)3²+4²=5²，5²+12²=13²，7²+24²=25²，9²+40²=41²，分析其中的規(guī)律，根據(jù)規(guī)律寫出第五組勾股數(shù)．

Answer 1

分析：（1）利用圖表可以發(fā)現(xiàn)a，b，c與n的關(guān)系，a與c正好是n²，加減1，即可得出答案；
（2）利用完全平方公式計算出a²+b²的值，以及c²的值，再利用勾股定理逆定理即可求出．
（3）①這些式子每個都呈a²+b²=c²（a，b，c為正整數(shù)）的形式．②每個等式中a是奇數(shù)，b為偶數(shù)（實際上還是4的倍數(shù)），c奇數(shù)．③c=b+1．④各個式子中，a的取值依次為3，5，7，9，11，是連續(xù)增大的奇數(shù)．⑤各個式子中，b的取值依次為4，12，24，40，所以第5個式子為11²+60²=61²．

解答：解：（1）由圖表可以得出：
∵n=2時，a=2²-1，b=4，c=2²+1，
n=3時，a=3²-1，b=2×3，c=3²+1，
n=4時，a=4²-1，b=2×4，c=4²+1，
…
∴a=n²-1，b=2n，c=n²+1．

（2）a、b、c為邊的三角形時：
∵a²+b²=（n²-1）²+4n²=n⁴+2n²+1，
c²=（n²+1）²=n⁴+2n²+1，
∴a²+b²=c²，
∴以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．

（3）由分析得出：第7組的式子為：11²+60²=61²．

點評：此題主要考查了勾股數(shù)，以及勾股定理，關(guān)鍵是找出數(shù)據(jù)之間的變化規(guī)律．