Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOBC在第一象限內(nèi)，E是邊OB上的動點（不包括端點），作∠AEF=90°，使EF交矩形的外角平分線BF于點F，設C（m，n）．
（1）若m=n時，如圖，求證：EF=AE；
（2）若m≠n時，如圖，試問邊OB上是否還存在點E，使得EF=AE？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．
（3）若m=tn（t＞1）時，試探究點E在邊OB的何處時，使得EF=（t+1）AE成立？并求出點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)m=n，我們可得出四邊形AOBC應該是個正方形．要證EF=AE，可通過構建全等三角形來實現(xiàn)，在OA上取點C，使AG=BE，則OG=OE．那么我們的目的就是證三角形ABE和EBF全等，這兩個三角形中已知的條件只有AG=BE，我們發(fā)現(xiàn)∠AGE和∠EBF都是90+45=135°，而∠GAE和∠FEB都是∠AEO的余角，那么這兩組對應角就相等，構成了三角形全等的條件，于是EF=AE了．
（2）可用反證法來求解，方法同（1）類似，也是通過構建全等三角形來求解．作FH⊥x軸于H，假設題目給出的條件成立，通過證明三角形AOE和EHF全等來得出線段相等，即AO=EH，OE=FH，根據(jù)FBH=45°，設E（a，0）．那么FH=BH=OE=a，那么不難得出EH=EB+BH=OE+EB=m，又根據(jù)AO=EH，m=n，因此不存在點E．
（3）可根據(jù)相似三角形來得出線段之間的比例關系來求得．輔助線作法同（2），我們不難證得三角形AOE和FEH相似（根據(jù)同角的余角相等和一組直角即可得出相似），那么就能將EF=（t+1）AE轉換為FH=（t+1）OE，根據(jù)相似我們還可得出關于AO、EH、OE、FH的比例關系，那么就能得出一個關于OE、FH、m、n的關系式，將這式子進行化簡，即可得出OE與m、n的關系，便能求出E的坐標了．

解答：解：
（1）由題意得m=n時，AOBC是正方形．
如圖，在OA上取點G，使AG=BE，
∵正方形OACB，OA=OB，
∴OG=OE．
∴∠EGO=∠GEO=

1

2

（180°-90°）=45°，從而∠AGE=90°+45°=135°．
由BF是外角平分線，得∠EBF=135°，
∴∠AGE=∠EBF．
∵∠AEF=90°，
∴∠FEB+∠AEO=90°．
在Rt△AEO中，∵∠EAO+∠AEO=90°，
∴∠EAO=∠FEB，
在△AGE和△EBF中
∵

∠EAO=∠FEB BE=AG ∠AGE=∠EBF

∴△AGE≌△EBF，
EF=AE．

（2）假設存在點E，使EF=AE．設E（a，0）．作FH⊥x軸于H，如圖．
由（1）知∠EAO=∠FEH，于是Rt△AOE≌Rt△EHF．
∴FH=OE，EH=OA．
∴點F的縱坐標為a，即FH=a．
由BF是外角平分線，知∠FBH=45°，
∴BH=FH=a．
又由C（m，n）有OB=m，
∴BE=OB-OE=m-a，
∴EH=m-a+a=m．
又EH=OA=n，
∴m=n，這與已知m≠n相矛盾．
因此在邊OB上不存在點E，使EF=AE成立．

（3）如（2）圖，設E（a，0），F(xiàn)H=h，則EH=OH-OE=h+m-a．
由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH，得△AOE∽△EHF，
∴EF=（t+1）AE等價于FH=（t+1）OE，即h=（t+1）a，
且

AO

EH

=

OE

FH

，即

n

h+m-a

=

a

h

，
整理得nh=ah+am-a²，
∴h=

am-a2

n-a

=

a(m-a)

n-a

．
把h=（t+1）a代入得

a(m-a)

n-a

=（t+1）a，
即m-a=（t+1）（n-a）．
而m=tn，因此tn-a=（t+1）（n-a）．
化簡得ta=n，解得a=

n

t

．
∵t＞1，
∴

n

t

＜n＜m，
故E在OB邊上．
∴當E在OB邊上且離原點距離為

n

t

處時滿足條件，此時E（

n

t

，0）．

點評：本題解題的關鍵是根據(jù)全等三角形的判定或相似三角形得出線段相等或成比例．