【答案】
分析:(1)把C(0,-4)代入拋物線的解析式求出c=4,得到y(tǒng)=ax
2-2ax-4,根據(jù)AB=6,利用求根公式即可求出a的值,代入即可;
(2)有兩種情況:①當(dāng)∠PAC=∠ACQ=90°時(shí),連接AQ,設(shè)Q(x,
x
2-x-4),由勾股定理得出AQ
2=AC
2+CQ
2,代入求出x的值,求出
x
2-x-4=-
,得到Q的坐標(biāo),同法可求P的坐標(biāo);②當(dāng)∠ACQ=∠PQC=90°時(shí),與①解法類似可求出Q的坐標(biāo)和P的坐標(biāo),即可得出答案;
(3)m和n間的數(shù)量關(guān)系是m+n=0,且m≠0,n≠0.根據(jù)拋物線c
2與拋物線c
1關(guān)于x軸對稱,得出兩拋物線的形狀相同,開口方向相反,且都關(guān)于x軸對稱,根據(jù)平行四邊形的形狀得到DE∥MN,ED=MN,DE與 MN關(guān)于直線x=1對稱,即可得到答案.
解答:(1)解:把C(0.-4)代入拋物線的解析式得:c=4,
∴y=ax
2-2ax-4,
∵AB=6,
∴|
-
|=6,
解得:a=0(舍去),a=
,
∴
,
答:拋物線c
1的解析式是y=
x
2-x-4.
(2)解:∵當(dāng)y=
x
2-x-4=0,x=4或-2,
∴OA=2,OB=4,
有兩種情況:①當(dāng)∠PAC=∠ACQ=90°時(shí)如圖(1),連接AQ,設(shè)Q(x,
x
2-x-4),
由勾股定理得:AQ
2=AC
2+CQ
2,
代入得:(x+2)
2+
=2
2+4
2+x
2+
,
解得:x=0(舍去),x=3,
當(dāng)x=3 時(shí),
x
2-x-4=-
,
∴Q(3,
),
同法可求P的坐標(biāo)是(5,
);
②當(dāng)∠ACQ=∠PQC=90°時(shí)如圖(2),與①解法類似可求出Q的坐標(biāo)是(3,-
),P的坐標(biāo)是(-5,
);
答:存在,P、Q的坐標(biāo)分別為(5,
),(3,
)或(-5,
),(3,
).
(3)答:m和n間的數(shù)量關(guān)系是m+n=0,且m≠0,n≠0.
理由是:∵拋物線c
2與拋物線c
1關(guān)于x軸對稱,
∴兩拋物線的形狀相同,開口方向相反,且都關(guān)于x軸對稱,
∵直線x=m分別交c
1、c
2于D、E兩點(diǎn),直線x=n分別交c
1、c
2于M、N兩點(diǎn),四邊形DMNE為平行四邊形,
∴直線m n垂直于x軸(m∥n),DE=MN,DE與 MN關(guān)于直線x=1對稱,
∴m+n=2,m≠0,n≠0.
點(diǎn)評:本題主要考查對平行四邊形的性質(zhì),坐標(biāo)與圖形變換-對稱,勾股定理,解一元二次方程-公式法,直角梯形等知識點(diǎn)的理解和掌握,綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵,題目比較典型,難度適中.