Question

10．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有勾八步，股十五步，問(wèn)勾中容圓，徑幾何？”其意思是：“如圖，今有直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為8步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為15步，問(wèn)該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）直徑是多少？”此問(wèn)題中，該內(nèi)切圓的直徑是（　�。�

• A． 5步
• B． 6步
• C． 8步
• D． 10步

Answer 1

分析 由勾股定理可求得斜邊長(zhǎng)，分別連接圓心和三個(gè)切點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，利用面積相等可得到關(guān)于r的方程，可求得內(nèi)切圓的半徑，則可求得內(nèi)切圓的直徑．

解答 解：
如圖，在Rt△ABC中，AC=8，BC=15，∠C=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=17，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×8×15=60，
設(shè)內(nèi)切圓的圓心為O，分別連接圓心和三個(gè)切點(diǎn)，及OA、OB、OC，
設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=$\frac{1}{2}$×r（AB+BC+AC）=20r，
∴20r=60，解得r=3，
∴內(nèi)切圓的直徑為6步，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的內(nèi)切圓，連接圓心和切點(diǎn)，把三角形的面積分成三個(gè)三個(gè)角形的面積得到關(guān)于r的方程是解題的關(guān)鍵．