Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，點B的坐標為（0，2），點D在x軸的負半軸上，∠ODB=30°，OE為△BOD的中線，過B、E兩點的拋物線y=ax²-x+c與x軸相交于A、F兩點（A在F的右側）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點P是上述拋物線上一動點，若由點D、O、E、P構成四邊形為梯形，則這樣的點P有幾個？試求出其中兩個點P的坐標；
（3）等邊△OMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）解直角三角形求出OD的長度，再根據(jù)點E是BD的中點求出點E的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BD、OE的解析式，然后分①EP∥OD時，點P的縱坐標與點E的縱坐標相同，代入拋物線計算即可求出點P的橫坐標，②DP∥OE時，根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出DP的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可；③OP∥DE時，先求出直線OP的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求解即可；
（3）令y=0，利用拋物線解析式求出點A的坐標，過點E作EG⊥OD于G，求出AG、EG，再利用勾股定理列式計算即可求出AE的長；過點O作OK⊥AE于K，利用∠EAG的正弦值列式求出OK，余弦值列式求出AK，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出KM的長度，然后分點M在點K的左邊與右邊兩種情況解答．
解答：解：（1）∵點B（0，2），
∴OB=2，
∵∠ODB=30°，
∴OD=OB•cot30°=2，
∵E為BD中點，
∴點E的坐標為（-，1），
∵拋物線y=ax²-x+c經(jīng)過B（0，2）、E（-，1），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y=-x²-x+2；

（2）∵點B（0，2），D（-2，0），
∴直線BD的解析式為y=x+2，
∵點E（-，1），
∴直線OE的解析式為y=-x，
①EP∥OD時，點P的縱坐標與點E的縱坐標相同，為1，
∵點P在拋物線上，
∴-x²-x+2=1，
解得x₁=-（為點E，舍去），x₂=，
∴點P的坐標為（，1），
②DP∥OE時，設直線DP的解析式為：y=-x+m，
則-×（-2）+m=0，
解得m=-2，
所以，直線DP的解析式為y=-x-2，
聯(lián)立，
解得，，
所以，點P的坐標為（，）或（，），
③OP∥DE時，直線OP的解析式為y=x，
聯(lián)立，
解得，，
∴點P的坐標為（，）或（，），
∴點P有5個，為P₁（，1），P₂（，），P₃（，），P₄（，），P₅（，）；

（3）令y=0，則-x²-x+2=0，
整理得，3x²+x+12=0，
解得x₁=-，x₂=，
∵拋物線與x軸相交于A、F，A在F的左側，
∴A點的坐標為（，0），
過點E作EG⊥OD于G，∵點E（-，1），
∴OG=，EG=1，
∴AG=+=2，
在Rt△AEG中，AE===；
過點O作OK⊥AE于K，
則sin∠EAG==，
即=，
解得OK=，
cos∠EAG==，
即=，
解得AK=，
∵△OMN是等邊三角形，
∴KM=OK•cot60°=×=，
∴AM=AK+KM=+=，
或AM=AK-KM=-=．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式與一次函數(shù)解析式），聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，題目難度較大，且運算量較大，需要分情況討論是最大的難點．