Question

如圖1，已知正方形OABC的邊長為2，頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，M是BC的中點．P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），直線PM交AB的延長線于點D．
（1）求點D的坐標（用含m的代數式表示）；
（2）當△APD是等腰三角形時，求m的值；
（3）設過P、M、B三點的拋物線與x軸正半軸交于點E，過點O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2），當點P從點O向點C運動時，點H也隨之運動．請直接寫出點H所經過的路徑長．（不必寫解答過程）

Answer 1

解：（1）由題意得CM=BM，
∵∠PMC=∠DMB，
∴Rt△PMC≌Rt△DMB，
∴DB=PC，
∴DB=2-m，AD=4-m，
∴點D的坐標為（2，4-m）．

（2）分三種情況
①若AP=AD，則4+m²=（4-m）²，解得；
②若PD=PA
過P作PF⊥AB于點F（如圖），
則AF=FD=AD=（4-m）
又∵OP=AF，
∴
則
③若PD=DA，
∵△PMC≌△DMB，
∴PM=PD=AD=（4-m），
∵PC²+CM²=PM²，
∴，
解得（舍去）．
綜上所述，當△APD是等腰三角形時，m的值為或或．

（3）點H所經過的路徑長為
理由是：∵P（0，m）是線段OC上一動點（C點除外），
∴0≤m＜2，
當O與P重合時，P點才開始運動，過P、M、B三點的拋物線y=-x²+3x，
此時ME的解析式為y=-x+3，則∠MEO=45°，
又∵OH⊥EM，
∴△OHE為等腰直角三角形，
∴點O、H、B三點共線，
∴點H所經過的路徑以OM為直徑的劣弧的長度，
∵∠COH=45°，OM=，
則弧長==π．
分析：（1）證明Rt△PMC≌Rt△DMB，即可證明DB=2-m，AD=4-m，從而求解；
（2）分AP=AD，PD=PA，PD=DA三種情況，根據勾股定理即可求解；
（3）運動時，路線長不變，可以取當P在O點時，求解即可．
點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．