Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，且DE∥BC，DE：BC=1：3．若點(diǎn)F從點(diǎn)B開(kāi)始以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度在射線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＞0時(shí)，直線(xiàn)FD與過(guò)點(diǎn)A且平行于BC的直線(xiàn)相交于點(diǎn)G，射線(xiàn)GE與射線(xiàn)BC相交于點(diǎn)H． AB與GH相交于點(diǎn)O．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
（1）設(shè)△AEG的面積為S，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)t為多少秒時(shí)，AB⊥GH；
（3）求△GFH的面積．

Answer 1

分析：（1）△AEG的面積S等于AE與AG乘積的一半，而且△ADG∽△BDF，然后利用相似比即可寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)AB⊥GH時(shí)，AG=AE=2，根據(jù)（1）中結(jié)論即可算出t的值；
（3）利用相似三角形可證得BF=CH，所以S_△GFH=

1

2

FH•AC=

1

2

BC•AC．

解答：解：（1）設(shè)BF=t
由DE：BC=1：3，則

AD

BD

=

AE

EC

=

1

2

而GA∥BC可得△ADG∽△BDF（1分）
∴

AG

BF

=

1

2

∴AG=

1

2

BF=

1

2

t（2分）
∴S=

1

2

AG•AE=

1

2

×

1

2

t×2=

1

2

t；（3分）

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠OAE=45°（4分）
若AB⊥GH
則在△AOG、△AOE中，∵∠OGA=∠OAE=∠OEA=45°
∴AG=AE=2（5分）
∵已證AG=

1

2

BF
∴BF=4
∴t=4（6分）
當(dāng)t為4秒時(shí)，AB⊥GH；（7分）

（3）∵GA∥BH，∴△ADG∽△BDF，△AEG∽△CEH
∴

AG

BF

=

AD

DB

=

1

2

，

AG

CH

=

AE

EC

=

1

2

∴BF=CH（8分）
∴FH=BC=6（9分）
∴S_△GFH=

1

2

FH•AC=

1

2

BC•AC=

1

2

×6×6=18．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一次函數(shù)和相似三角形的綜合應(yīng)用．