Question

已知拋物線y=x²+(2n-1)x+n²-1 (n為常數).

(1)當該拋物線經過坐標原點，并且頂點在第四象限時，求出它所對應的函數關系式；

(2)設A是(1)所確定的拋物線上位于x軸下方、且在對稱軸左側的一個動點，過A作x軸的平行線，交拋物線于另一點D，再作AB⊥x軸于B，DC⊥x軸于C.

    ①當BC=1時，求矩形ABCD的周長；

    ②試問矩形ABCD的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值，并指出此時A點的坐標；如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：解：（1）由已知條件，得：n2－1=0 解這個方程，得： n1=1 ，n2=－1； 當n=1時，得y=x2+x，此拋物線的頂點不在第四象限； 當n=－1時，得y=x2－3x，此拋物線的頂點在第四象限； ∴所求的函數關系式為y=x2－3x (2)由y=x2－3x，令y=0，得x2－3x=0，解得x1=0 ，x2=3； ∴拋物線與x 軸的另一個交點為（3，0） ∴它的頂點為，對稱軸為直線  ①∵BC=1，由拋物線和矩形的對稱性易知 ∴B（1，0） ∴點A的橫坐標x=1，又點A在拋物線y=x2－3x上， ∴點A的縱坐標y=12－3×1=－2。 ∴AB=|y |=2 ∴矩形ABCD的周長為：2（AB+BC）=6 ②∵點A在拋物線y=x2－3x上，可以設A點的坐標為（x，x2－3x）， ∴B點的坐標為 （x，0）。 ∴BC=3－2x，A在x 軸的下方， ∴x2－3x＜0 ∴AB=| x2－3x |=3x－x2 ∴矩形ABCD的周長 ∵a=-2＜0 ∴當時， 矩形ABCD的周長P最大值是。 其它解法，請參照評分建議酌情給分。