Question

已知：如圖，O為平面直角坐標系的原點，半徑為1的⊙B經(jīng)過點O，且與x，y軸分交于點A，C，點A的坐標為(

3

，0)，AC的延長線與⊙B的切線OD交于點D．
（1）求OC的長和∠CAO的度數(shù)；
（2）求過D點的反比例函數(shù)的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件知道AC是圓的直徑，所以長度為2，因為C的坐標已知，所以能求出OC的長度，根據(jù)勾股定理求出AO的長度，所以可求出角的度數(shù)．
（2）連接OB，過點D作DE⊥x軸于點E，根據(jù)題目所給的條件，求出D點的坐標，進而求出反比例函數(shù)的解析式．

解答：解：（1）∵⊙B經(jīng)過原點O，∠AOC=90°，
∴AC是⊙B的直徑，
∴AC=2．（1分）
又∵點A的坐標為（

3

.0），
∴OA=

3

．OC=

AC2-OA2

=

22-( 3 )2

=1．（2分）
∴sin∠CAO=

1

2

．
∴∠CAO=30°．（3分）

（2）連接OB，過點D作DE⊥x軸于點E．（4分）
∵OD為⊙B的切線，
∴OB⊥OD．∴∠BOD=90°
∴∠AOB=∠OAB=30°．
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°
在△AOD中，∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD
∴OD=OA=

3

．（6分）
在Rt△DOE中，∠DOE=180°-120°=60°，
∴OE=OD•cos60°=

3

2

．ED=OD•sin60°=

3

2

，（7分）
∵點D在第二象限，
∴點D的坐標為(-

3

2

，

3

2

)．（8分）
設(shè)過點D的反比例函數(shù)表達式為y=

k

x

，則k=(-

3

2

)×

3

2

=-

3 3

4

∴y=-

3 3

4x

（10分）

點評：本題考查反比例函數(shù)的綜合運用，本題考查了勾股定理的運用，以及三角函數(shù)的運用，反比例函數(shù)的確定等知識點．