Question

如圖，在正方形ABCD中，E是對角線BD上任意一點，過E作EF⊥BC于F，作EG⊥CD于G，若正方形ABCD的周長為m，則四邊形EFCG的周長為________．

Answer 1

m
分析：由ABCD為正方形，根據正方形的性質可知四條邊相等，且∠CDB與∠CBD相等都為45°，進而得到三角形DEG與三角形BEF都是等腰直角三角形，即EG與DG相等，EF與BF相等，由根據三個角為直角的四邊形為矩形得到EFCG為矩形，從而得到對邊EG與FC相等，EF與GC相等，故把四邊形EFCG的周長轉換為正方形的兩條邊相加，即為正方形周長的一半，由正方形的周長為m即可求出四邊形EFCG的周長．
解答：∵ABCD為正方形，
∴∠DBC=∠BDC=45°，AB=BC=CD=AD，
又∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠EFC=∠EGC=90°，又∠C=90°，
∴四邊形EFCG為矩形，
∴EG=FC，EF=GC，
∵△BEF和△EDG都為等腰直角三角形，
∴DG=EG，EF=BF，
則四邊形EFCG的周長=EF+FC+CG+EG=DG+GC+CF+FB=DC+BC=m．
故答案為：m．
點評：此題考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，以及等腰三角形的性質．根據題意得出△BEF和△EDG都為等腰直角三角形及四邊形EFCG為矩形是解本題的關鍵．