Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在第一象限，坐標(biāo)為（a，b），直線(xiàn)l的解析式為y=2x-4．
（1）畫(huà)出點(diǎn)P以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′；
（2）猜想點(diǎn)P′的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；
（3）求出直線(xiàn)l繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的直線(xiàn)l′的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，所以對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′應(yīng)該在第二象限，因此可以確定位置并畫(huà)出圖象；
（2）P′（-b，a）．根據(jù)旋轉(zhuǎn)可以知道OP=OP′，又旋轉(zhuǎn)90°，因此可以證明Rt△AOP≌Rt△A′OP′，再利用全等三角形的性質(zhì)就可以得到P′的坐標(biāo)；
（3）首先確定直線(xiàn)l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用（2）的結(jié)論即可確定旋轉(zhuǎn)后它們的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可確定函數(shù)解析式．
解答：解：（1）如圖所示；

（2）P′（-b，a）．
證明：過(guò)P點(diǎn)分別x軸、y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為A、B，
過(guò)P′點(diǎn)分別x軸、y軸的垂線(xiàn)，垂足分別為B′、A′，
∵∠POP′=90°，
∴∠AOP=∠A′OP′，
又∵OP=OP′，
∴Rt△AOP≌Rt△A′OP′，
∴OA=OA′，AP=A′P′，
∴OA′=OA=a，OB′=P′A′=PA=OB=b，
又∵P′在第二象限，
∴P′的坐標(biāo)為（-b，a）；

（3）由圖象知直線(xiàn)l與x軸交點(diǎn)為M（2，0），與y軸交點(diǎn)為N（0，-4）．
由（2）得：點(diǎn)M（2，0）、N（0，-4）繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是M′（0，2）、N′（4，0），
∴直線(xiàn)M′N(xiāo)′就是直線(xiàn)l繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的對(duì)應(yīng)直線(xiàn)，
解得直線(xiàn)l′的解析式為y=-x+2．
點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，把旋轉(zhuǎn)知識(shí)放在坐標(biāo)系的背景中，首先找一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)來(lái)找旋轉(zhuǎn)直線(xiàn)的解析式．