Question

如圖，已知A，B兩點的坐標分別為（-3，0），（0，3），⊙C的圓心坐標為（3，0），并與x軸交于坐標原點O．若E是⊙C上的一個動點，線段AE與y軸交于點D．
（1）線段AE長度的最小值是______，最大值是______；
（2）當點E運動到點E₁和點E₂時，線段AE所在的直線與⊙C相切，求由AE₁、AE₂、弧E₁OE₂所圍成的圖形的面積；
（3）求出△ABD的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵A（-3，0），
∴OA=3，
∵⊙C的圓心坐標為（3，0），并與x軸交于坐標原點O，
∴⊙C的半徑為3，
∴AE長度的最小值為3，最大值為3+3×2=9；
故答案為：3，9；

（2）如圖，連接CE₁、CE₂，
∵點E運動到點E₁和點E₂時，線段AE所在的直線與⊙C相切，
∴CE₁⊥AE₁，CE₂⊥AE₂，
∵cos∠ACE₁===，
∴∠ACE₁=60°，
過點E₁作E₁F⊥x軸于F，則E₁F=CE₁•sin60°=3×sin60°=3×=，
∴△ACE₁的面積=AC•E₁F=×6×=，
同理可得，△ACE₂的面積=，
∴四邊形AE₁CE₂的面積=△ACE₁的面積+△ACE₂的面積=+=9，
由AE₁、AE₂、弧E₁OE₂所圍成的圖形的面積=四邊形AE₁CE₂的面積-扇形CE₁E₂的面積，
=9-，
=9-3π；

（3）∵∠ACE₁=60°，
∴∠DAO=90°-ACE₁=90°-60°=30°，
∴OD=AO•tan∠DAO=3tan30°=3×=，
∵點A到BD的距離為OA的長度，不變，
∴點D在y軸負半軸時，△ABD的面積取得最大值，
此時BD=OB+OD=3+，
最大面積為：×（3+）×3=，
在y軸正半軸時，△ABD的面積取得最小值，
時BD=OB-OD=3-，
最小面積為：×（3-）×3=．
分析：（1）根據(jù)動點E在x軸上時，AE取得最小值與最大值解答；
（2）連接CE₁、CE₂，根據(jù)圓的切線的定義可得CE₁⊥AE₁，CE₂⊥AE₂，解直角三角形求出∠ACE₁=60°，過點E₁作E₁F⊥x軸于F，利用∠ACE₁的正弦求出E₁F，然后利用三角形的面積求出△ACE₁的面積，同理可得△ACE₂的面積，再根據(jù)由AE₁、AE₂、弧E₁OE₂所圍成的圖形的面積=四邊形AE₁CE₂的面積-扇形CE₁E₂的面積，然后列式計算即可得解；
（3）根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DAO=30°，利用∠DAO的正切值求出OD的長度，根據(jù)三角形的面積，點D在y軸負半軸時，△ABD的面積取得最大值，在y軸正半軸時，△ABD的面積取得最小值，然后進行計算即可得解，
點評：本題是圓的綜合題型，主要考查了圓外一點與圓上各點的距離的最值問題，圓的切線問題，解直角三角形，以及三角形的面積，綜合題，但難度不大，（1）（3）確定出最大值與最小值時的點E的位置是解題的關鍵，（2）根據(jù)對稱性求出四邊形的面積，并表示出圍成圖形的表示是解題的關鍵．