(2009•天津)已知函數(shù)y1=x,y2=x2+bx+c,α,β為方程y1-y2=0的兩個根,點M(t,T)在函數(shù)y2的圖象上.
(Ⅰ)若α=,β=,求函數(shù)y2的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若函數(shù)y1與y2的圖象的兩個交點為A,B,當(dāng)△ABM的面積為時,求t的值;
(Ⅲ)若0<α<β<1,當(dāng)0<t<1時,試確定T,α,β三者之間的大小關(guān)系,并說明理由.
【答案】分析:(1)問通過把α=,β=分別代入y1-y2=0,確定b,c的值而求得函數(shù)y2的解析式;
(2)問關(guān)鍵在于明確|t-T|=h這一等量關(guān)系才能求得t的值;
(3)問難度較大,比較T、α、β的大小需要正確理解0<α<β<1及0<t<1在整式變形中分類應(yīng)用.
解答:解:(1)∵y1=x,y2=x2+bx+c,y1-y2=0,
∴x2+(b-1)x+c=0.
將α=,β=分別代入x2+(b-1)x+c=0,
得(2+(b-1)×+c=0,(2+(b-1)×+c=0,
解得b=,c=
∴函數(shù)y2的解析式為y2=x2+x+

(2)由已知得:A(,),B(),得AB==,
設(shè)△ABM的高為h,
∴S△ABM=AB•h=h=,即h=
根據(jù)題意:|t-T|=h,
由T=t2+t+,
得:|-t2+t-|=
當(dāng)t2-t+=-時,解得:t1=t2=;
當(dāng)t2-t+=時,解得:t3=,t4=
∴t的值為:,,

(3)由已知,得α=α2+bα+c,β=β2+bβ+c,T=t2+bt+c.
∴T-α=(t-α)(t+α+b);
T-β=(t-β)(t+β+b);
α-β=(α2+bα+c)-(β2+bβ+c),
化簡得(α-β)(α+β+b-1)=0.
∵0<α<β<1,得α-β≠0,
∴α+β+b-1=0.
有α+b=1-β>0,β+b=1-α>0.
又∵0<t<1,
∴t+α+b>0,t+β+b>0,
∴當(dāng)0<t≤a時,T≤α<β;
當(dāng)α<t≤β時,α<T≤β;
當(dāng)β<t<1時,α<β<T.
點評:本題綜合考查一元二次方程與一次函數(shù)及二次函數(shù)的相關(guān)知識,一元二次方程與函數(shù)相結(jié)合的綜合問題是初中與高中知識銜接的重點內(nèi)容.對于這類問題,通常需要學(xué)生熟悉掌握方程與函數(shù)的概念與性質(zhì)及兩者之間的聯(lián)系.
練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)若折疊后使點B與點A重合,求點C的坐標(biāo);
(Ⅱ)若折疊后點B落在邊OA上的點為B′,設(shè)OB′=x,OC=y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并確定y的取值范圍;
(Ⅲ)若折疊后點B落在邊OA上的點為B″,且使B″D∥OB,求此時點C的坐標(biāo).

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(Ⅰ)若α=,β=,求函數(shù)y2的解析式;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若函數(shù)y1與y2的圖象的兩個交點為A,B,當(dāng)△ABM的面積為時,求t的值;
(Ⅲ)若0<α<β<1,當(dāng)0<t<1時,試確定T,α,β三者之間的大小關(guān)系,并說明理由.

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(Ⅱ)若該函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)y=2x的圖象在第一象內(nèi)限的交點為A,過A點作x軸的垂線,垂足為B,當(dāng)△OAB的面積為4時,求點A的坐標(biāo)及反比例函數(shù)的解析式.

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(Ⅱ)若折疊后點B落在邊OA上的點為B′,設(shè)OB′=x,OC=y,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式,并確定y的取值范圍;
(Ⅲ)若折疊后點B落在邊OA上的點為B″,且使B″D∥OB,求此時點C的坐標(biāo).

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