Question

如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，AD：AB=：2，CP：BP=1：2，連接EP并延長，交AB的延長線于點(diǎn)F，AP、BE相交于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①EP平分∠CEB；②BF²=PB•EF；③PF•EF=2AD²；④EF•EP=4AO•PO．其中正確的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．③④

Answer 1

【答案】分析：由條件設(shè)AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函數(shù)值可以求出∠EBC的度數(shù)和∠CEP的度數(shù)，就可以求出∠CEP=∠BEP，運(yùn)用勾股定理及三角函數(shù)值就可以求出就可以求出BF、EF的值，從而可以求出結(jié)論．
解答：解：設(shè)AD=x，AB=2x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB，
∴BC=x，CD=2x，
∵CP：BP=1：2，
∴CP=x，BP=x．
∵E為DC的中點(diǎn)，
∴CE=CD=x，
∴tan∠CEP===，tan∠EBC==，
∴∠CEP=30°，∠EBC=30°，
∴∠CEB=60°，
∴∠PEB=30°，
∴∠CEP=∠PEB，
∴EP平分∠CEB，故①正確；
∵DC∥AB，
∴∠CEP=∠F=30°，
∴∠F=∠EBP=30°，∠F=BEF=30°，
∴△EBP∽△EFB，
∴，
∴BE．BF=BP．EF．
∵∠F=BEF，
∴BE=BF，
∴②BF²=PB•EF．故②正確；
∵∠F=30°，
∴PF=2PB=x，
過點(diǎn)E作EG⊥AF于G，
∴∠EGF=90°，
∴EF=2EG=2x，
∴PF•EF=x•2x=8x²，
2AD²=2×（）²=6，
∵6≠8，
∴PF•EF≠2AD²，故本答案錯(cuò)誤；
在Rt△ECP中，
∵∠CEP=30°，
∴EP=2PC=x．
∵tan∠PAB==，
∴∠PAB=30°，
∴∠APB=60°，
∴∠AOB=90°，
在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，
AO=x，PO=x，
∴EF•EP=2x•x=4x²
4AO•PO=4×xx=4x²．
∴EF•EP=4AO•PO．故④正確．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，特殊角的正切值的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用及直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)比例關(guān)系設(shè)出未知數(shù)表示出線段的長度是關(guān)鍵．