Question

已知二次函數(shù)y=cx²-2（a+b）x+c，其中a，b，c是△ABC中∠A、∠B、∠C所對(duì)的邊．
（1）求證：二次函數(shù)y=cx²-2（a+b）x+c的圖象與x軸交于兩點(diǎn)．
（2）在△ABC中，∠C=90°，∠A＜∠B，且S_△ABC=24．若二次函數(shù)y=cx²-2（a+b）x+c的圖象與x軸交于M（x₁，0），N（x₂，0）兩點(diǎn)，且，求sinB的值？

Answer 1

（1）證明：∵在△ABC中，a+b＞c，
y=cx²-2（a+b）x+c的判別式為△=[2（a+b）]²-4c²，
∴△＞0，即二次函數(shù)y=cx²-2（a+b）x+c的圖象與x軸交于兩點(diǎn)；
（2）解：∵∠C=90°，S_△ABC=24，∴ab=24，即ab=48…①，
由根與系數(shù)關(guān)系，得x₁+x₂=，x₁•x₂=1，
代入+=，得=，即c=（a+b）…②，
又a²+b²=c²…③，
由①②③解得a=6，b=8，c=10，
∴sinB===．
分析：（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系及判別式進(jìn)行判斷；
（2） 由∠C=90°，S_△ABC=24可知ab=24，即ab=48，由拋物線與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₁，x₂，由根與系數(shù)關(guān)系，得x₁+x₂=，x₁•x₂=1，代入+=，結(jié)合a²+b²=c²，聯(lián)立求a、b、c的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形的面積表達(dá)式，根與系數(shù)關(guān)系，勾股定理，列方程組求解．