Question

（2013•常州）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD為⊙O的直徑，AD=6，則DC=

2

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠BAD=∠BCD=90°，然后求出∠CAD=30°，利用同弧所對的圓周角相等求出∠CBD=∠CAD=30°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補求出∠BDC=60°再根據(jù)等弦所對的圓周角相等求出∠ADB=∠ADC，從而求出∠ADB=30°，解直角三角形求出BD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半解答即可．

解答：解：∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵∠BAC=120°，
∴∠CAD=120°-90°=30°，
∴∠CBD=∠CAD=30°，
又∵∠BAC=120°，
∴∠BDC=180°-∠BAC=180°-120°=60°，
∵AB=AC，
∴∠ADB=∠ADC，
∴∠ADB=

1

2

∠BDC=

1

2

×60°=30°，
∵AD=6，
∴在Rt△ABD中，BD=AD÷cos60°=6÷

3

2

=4

3

，
在Rt△BCD中，DC=

1

2

BD=

1

2

×4

3

=2

3

．
故答案為：2

3

．

點評：本題考查了圓周角定理，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，以及圓的相關性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關鍵．