Question

如圖，ABCD為正方形，E是BC的中點(diǎn)，CF平分∠DCM，EF⊥AE．(1)猜想線段AE與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

(2)如圖，E是BC上任一點(diǎn)，其他條件不變，則上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)AE＝EF．取AB中點(diǎn)P，連接PE，在正方形ABCD中，AB＝BC． 　　∵AP＝AB，EC＝BC，∴AP＝EC，∠BPE＝∠FCM＝，∴－∠BPE＝－∠FCM，即∠APE＝∠ECF．∵∠B＝∠AEF＝，∴∠BAE＝－∠AEB，∠CEF＝－∠AEB，∴∠BAE＝∠CEF，∴△APE≌△ECF(ASA)，∴AE＝EF． 　　(2)上述結(jié)論仍成立，即AE＝AF．證明如下：在AB上取BP＝BE，連接PE， 　　∴∠BPE＝∠BEP．∵∠B＝， 　　∴∠BPE＝，∴∠APE＝－∠BPE＝．∵CF平分∠DCM且∠DCM＝，∴∠FCM＝，∴∠ECF＝－∠FCM＝，∴∠APE＝∠ECF．∵∠B＝∠AEF＝，∠BAE＝－∠AEB，∠CEF＝－∠AEB，∴∠BAE＝∠CEF，∵AB＝BC，∴AB－BP＝BC－BE，即AP＝EC，∴△APE≌△ECF，∴AE＝EF．