Question

已知，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+b與雙曲線y=

k

x

(k≠0)交于A、B兩點，與x軸交于C點，點A的坐標(biāo)為（m，5），點B的坐標(biāo)為（n，-2）．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上是否存在一點E，使得S_△BCE=

4

3

S_△BCO？若存在請求出點E的坐標(biāo)；若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：（1）將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)與反比例解析式，消去b與k得到關(guān)于m與n的方程組，求出方程組的解得到m與n的值，進(jìn)而求出k與b的值，確定出一次函數(shù)與反比例解析式；
（2）存在，理由為：對于一次函數(shù)，令y=0求出x的值，確定出C坐標(biāo)，得到OC的長，三角形BCO的面積由OC為底，B縱坐標(biāo)的絕對值為高求出，進(jìn)而根據(jù)題意確定出三角形BCE的面積，三角形BCE以CE為底，B縱坐標(biāo)的絕對值為高，求出CE的長，即可確定出E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）將A（m，5），B（n，-2）分別代入一次函數(shù)得：m+b=5，n+b=-2，
整理得：m-n=7①；
將A（m，5），B（n，-2）分別代入反比例函數(shù)得：5=

k

m

，-2=

k

n

，
整理得：

n

m

=-

5

2

，即5m+2n=0②，
聯(lián)立①②解得：m=2，n=-5，
∴k=10，b=3，
則一次函數(shù)解析式為y=x+3，反比例解析式為y=

10

x

；
（2）存在，
對于一次函數(shù)y=x+3，令y=0，得到x=-3，即OC=3，
∴S_△BCO=

1

2

OC•|y_{B縱坐標(biāo)}|=3，
∴S_△BCE=

4

3

S_△BCO=4，即

1

2

CE•|y_{B縱坐標(biāo)}|=4，
∴CE=4，又C（-3，0），
則E（-7，0）或（1，0）．

點評：此題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，以及三角形的面積求法，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．