Question

如圖．矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O．DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的而積為，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）熟記菱形的判定定理，本題可用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．
（2）因?yàn)椤螦CB=30°可證明菱形的一條對(duì)角線和邊長(zhǎng)相等，可證明和對(duì)角線構(gòu)成等邊三角形，然后作輔助線，根據(jù)菱形的面積已知可求解．
解答：（1）證明：∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四邊形OCED是平行四邊形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴四邊形OCED是菱形；

（2）解：∵∠ACB=30°，
∴∠DCO=90°-30°=60°．
又∵OD=OC，
∴△OCD是等邊三角形．
過(guò)D作DF⊥OC于F，則CF=OC，設(shè)CF=x，則OC=2x，AC=4x．
在Rt△DFC中，tan60°=，
∴DF=x．
∴OC•DF=8．
∴x=2．
∴AC=4×2=8．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)，對(duì)角線相等且互相平分，菱形的判定和性質(zhì)，以及解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．