Question

環(huán)行跑道的一周插了若干紅、黃兩種顏色的彩旗，已知一共變色了46次（一個(gè)紅旗與一個(gè)黃旗相鄰或一個(gè)黃旗與一個(gè)紅旗相鄰，稱為一次變色），現(xiàn)可將相鄰的旗子對(duì)調(diào)，如果若干次對(duì)調(diào)后，變色次數(shù)減少為26次．試說(shuō)明：在對(duì)調(diào)過(guò)程中，必有一個(gè)時(shí)刻，彩旗的變色次數(shù)恰好為28次．

Answer 1

首先說(shuō)明，將相鄰的旗子對(duì)調(diào)一次，變色次數(shù)或不變，或增加2次，或減少2次．
顯然，如果對(duì)調(diào)的兩旗同色，則不改變變色數(shù)，以下為了方便，用⊙表示紅色旗，用△表示黃色旗，可設(shè)對(duì)調(diào)前兩旗為⊙△，
因?qū)φ{(diào)一次只可能影響這兩旗相鄰旗子的變色數(shù)，因此（考慮對(duì)稱性），只需考慮如下幾種對(duì)調(diào)前的情形：
⊙⊙△△，⊙⊙△⊙，△⊙△⊙，△⊙△△（變色數(shù)依次為1，2，3，2），
將中間兩旗對(duì)調(diào)后變?yōu)椤选鳌选�，⊙△⊙⊙，△△⊙⊙，△△⊙△（變色�?shù)依次為3，2，1，2）．
由此可見(jiàn)，變色數(shù)或不變，或增加2次，或減少2次．
由原來(lái)的變色數(shù)46，經(jīng)過(guò)若干次增、減2，現(xiàn)在成為26，故必須經(jīng)過(guò)46與26之間的所有偶數(shù)．
所以在對(duì)調(diào)過(guò)程中，必有一個(gè)時(shí)刻，彩旗的變色次數(shù)恰好為28次．