Question

（2012•延慶縣一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y₁=mx²-（2m+3）x+m+3與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（其中m＞0）．
（1）求：點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)（含m的式子表示）；
（2）若OB=4•AO，點(diǎn)D是線段OC（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）上一動(dòng)點(diǎn)，在線段OD的右側(cè)作正方形ODEF，連接CE、BE，設(shè)線段OD=t，△CEB的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）拋物線的解析式中，令y=0，通過(guò)解方程即可得到A、B點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果能得到OA、OB的長(zhǎng)，結(jié)合OB=4OA的條件能求出m的值．若設(shè)直線EF與線段BC的交點(diǎn)為G，那么以EG為底、OB為高能求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，在表達(dá)EG長(zhǎng)時(shí)，要注意t的取值范圍．

解答：解：（1）二次函數(shù)y₁=mx²-（2m+3）x+m+3中，令y=0，得：
0=mx²-（2m+3）x+m+3，
解得：x₁=1，x₂=

m+3

m

；
∴A（1，0）、B（

m+3

m

，0）．

（2）由（1）知：OB=

m+3

m

，OA=1，已知 OB=4•OA，得：

m+3

m

=4，解得：m=1；
在Rt△OBC中，OB=OC=4，所以∠OBC=45°；
①當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如圖①；
由于四邊形ODEF是正方形，所以O(shè)F=EF=t，BF=OB-OF=4-t；
∴GF=BF=4-t，GE=GF-EF=4-t-t=4-2t；
∴S=

1

2

GE•OB=8-4t；
②當(dāng)2＜t＜4時(shí)，如圖②；
同①可得：GE=2t-4；
S=

1

2

GE•OB=4t-8；
綜上，得：
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，S=8-4t；
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，S=4t-8．

點(diǎn)評(píng)：題目主要考查的是二次函數(shù)以及圖形的面積問(wèn)題；（2）題在解答時(shí)一定要注意自變量的取值范圍，圖形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題通常要找出關(guān)鍵“點(diǎn)”，然后再確定對(duì)應(yīng)的分段函數(shù)，如此題，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，就是該題的一個(gè)關(guān)鍵“點(diǎn)”．