Question

已知：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線(xiàn)PD交AC于D．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）若∠BAC=120°，BC=4，求⊙O的半徑長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BC，
而AB=AC，
∴PB=PC，
而OB=OA，
∴OP為△ABC的中位線(xiàn)，
∴OP∥AC，
又∵DP是⊙O的切線(xiàn)，
∴OP⊥DP，
∴PD⊥AC；

（2）解：∵AP⊥BC，AB=AC，
∴AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠BAC=60°，
而B(niǎo)C=4，
∴PB=2，
在Rt△ABP中，∠B=90°-60°=30°，
∴PB=AP，
∴AP=2，
∴AB=2AP=4，
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2．
分析：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到AP⊥BC，而AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得PB=PC，則OP為△ABC的中位線(xiàn)，得OP∥AC；根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)有OP⊥DP，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AP平分∠BAC，即∠BAP=∠BAC=60°，在Rt△ABP中，∠B=90°-60°=30°，PB=BC=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到PB=AP，則AP=2，AB=2AP=4，即可得到⊙O的半徑長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及圓周角定理的推論．