Question

如圖，一次函數(shù)y₁=ax+2與反比例函數(shù)y₂=的圖象交于點(diǎn)A（4，m）和B（-8，-2），與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)D．
（1）求a、k的值；
（2）過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，若P為反比例函數(shù)圖象的位于第一象限部分上的一點(diǎn)，且直線OP分△ADE所得的兩部分面積之比為2：7．請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，請(qǐng)?jiān)趚軸上找一點(diǎn)Q，使得△PQC的周長最小，并求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）將B（-8，-2）代入反比例函數(shù)解析式得：-2=，解得：k=16，
將B（-8，-2）代入一次函數(shù)解析式得：-8a+2=-2，解得：a=；

（2）分兩種情況考慮：
①設(shè)P點(diǎn)存在，連接OP交AE于點(diǎn)F，

將A（4，m）代入反比例解析式得：m=4，令一次函數(shù)y=x+2中，y=0，解得：x=-4，
則AE=4，OD=4，DE=OD+OE=4+4=8，
則S_△ADE=AE•DE=×4×8=16，
又∵S_△OEF：S_{四邊形AFOD}=2：7，
∴S_△OEF=×16=，
又∵S_△OEF=EF•OE，OE=4，
∴EF=，
∴F（4，），
設(shè)直線OF的方程為y=kx，將F（4，）代入得：k=，
將直線OF方程與反比例函數(shù)解析式聯(lián)立得：
，
解得：或．
∵P點(diǎn)在第一象限內(nèi)，
∴P（6，）；
②設(shè)P點(diǎn)存在，連接OP交AC于點(diǎn)F，過F作FH⊥x軸，

∵S_△FDO：S_{四邊形ACOE}=2：7，
∴S_△FDO=，
∴FH=y=代入y=x+2得：x=-，
∴F（-，），在第二象限，
與圖形矛盾，故此時(shí)P點(diǎn)不存在，
綜上，P的坐標(biāo)為（6，）；

（3）點(diǎn)P存在時(shí)，P（6，），則P點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P′（6，-），
連接P′C交x軸于點(diǎn)Q，

設(shè)P′C的方程為y=kx+b，將C與P′坐標(biāo)代入得：
，
解得：．
∴P′C的方程為y=-x+2，
令y=0，解得：x=，
則Q（，0）．
分析：（1）將B坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k的值，確定出反比例解析式，將B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出a的值，確定出一次函數(shù)解析式；
（2）分兩種情況考慮：①假設(shè)P存在，連接OP，交AE于點(diǎn)F，如圖所示，將A坐標(biāo)代入反比例解析式中求出m的值，確定出A的坐標(biāo)，得到AE與OE的長，令一次函數(shù)y=0求出x的值，確定出D的坐標(biāo)，得到OD的長，由OD+OE求出DE的長，進(jìn)而確定出直角三角形ADE的面積，由三角形OEF的面積與四邊形AFOD的面積之比，求出三角形OEF的面積，由OE的長，利用三角形面積公式求出FE的長，確定出F坐標(biāo)，設(shè)直線OF解析式為y=kx，將F坐標(biāo)代入求出k的值，確定出直線OF解析式，與反比例解析式聯(lián)立即可求出P的坐標(biāo)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；②假設(shè)P點(diǎn)存在，連接OP交AC于點(diǎn)F，過F作FH⊥x軸同理得到三角形FDC的面積，由OD求出FH的長，代入已知一次函數(shù)解析式中，確定出F坐標(biāo)，得到F在第二象限，不合圖形，矛盾，此時(shí)P不存在，綜上，得到滿足題意P的坐標(biāo)；
（3）由（2）得出P的坐標(biāo)，找出P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P′，連接CP′于x軸交于Q點(diǎn)，求出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．