Question

【題目】如果兩個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，夾角互補(bǔ)，那么這兩個(gè)三角形叫做互補(bǔ)三角形，如圖2，分別以△ABC的邊AB、AC為邊向外作正方形ABDE和ACGF，則圖中的兩個(gè)三角形就是互補(bǔ)三角形．

（1）用尺規(guī)將圖1中的△ABC分割成兩個(gè)互補(bǔ)三角形；
（2）證明圖2中的△ABC與△AEF兩個(gè)互補(bǔ)三角形面積相等；
（3）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上再以BC為邊向外作正方形BCHI．
①已知三個(gè)正方形面積分別是17、13、10，在如圖4的網(wǎng)格中（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）畫出邊長(zhǎng)為 、 、 的三角形，并計(jì)算圖3中六邊形DEFGHI的面積．
②若△ABC的面積為2，求以EF、DI、HG的長(zhǎng)為邊的三角形面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，作BC邊上的中線AD，△ABD和△ADC是互補(bǔ)三角形．

（2）解：如圖2中，延長(zhǎng)FA到點(diǎn)H，使得AH=AF，連接EH．

∵四邊形ABDE，四邊形ACGF是正方形，

∴AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，

∴∠EAF+∠BAC=180°，

∴△AEF和△ABC是兩個(gè)互補(bǔ)三角形．

∵∠EAH+∠HAB=∠BAC+∠HAB=90°，

∴∠EAH=∠BAC，

∵AF=AC，

∴AH=AC，

在△AEH和△ABC中，

∴△AEH≌△ABC，

∴S△AEF=S△AEH=S△ABC．

（3）解：①邊長(zhǎng)為 、 、 的三角形如圖4所示．

∵S△ABC=3×4﹣2﹣1.5﹣3=5.5，

∴S六邊形=17+13+10+4×5.5=62．

②如圖3中，平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，設(shè)∠ABC=x，

∵AM∥CH，CH⊥BC，

∴AM⊥BC，

∴∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，

∵∠DBI=360°﹣90°﹣90°﹣x=180°﹣x，

∴∠EAM=∠DBI，∵AE=BD，

∴△AEM≌△DBI，

∵在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，

∴△DBI和△ABC是互補(bǔ)三角形，

∴S△AEM=S△AEF=S△AFM=2，

∴S△EFM=3S△ABC=6．

【解析】（1）作BC邊上的中線AD，根據(jù)三角形中線的定義知BD=CD，AD=AD,根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角的定義+=180,根據(jù)互補(bǔ)三角形的定義△ABD和△ADC是互補(bǔ)三角形；
（2）延長(zhǎng)FA到點(diǎn)H，使得AH=AF，連接EH．根據(jù)正方形的性質(zhì)AB=AE，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，根據(jù)周角的定義知∠EAF+∠BAC=180°，根據(jù)互補(bǔ)三角形的定義得出△AEF和△ABC是兩個(gè)互補(bǔ)三角形，根據(jù)同角的余角相等得出∠EAH=∠BAC，根據(jù)正方形的性質(zhì)及作的輔助線知AH=AC,進(jìn)而利用SAS判斷出△AEH≌△ABC，從而根據(jù)全等三角形的面積相等得出S△AEH=S△ABC，由根據(jù)等底同高的兩個(gè)三角形面積相等得出S△AEF=S△AEH，從而得出S△AEF=S△AEH=S△ABC；
（3）①利用勾股定理，結(jié)合網(wǎng)格結(jié)構(gòu)畫出邊長(zhǎng)為，，的三角形即可；利用割補(bǔ)法求面積即可；②如圖3中，平移△CHG到AMF，連接EM，IM，則AM=CH=BI，設(shè)∠ABC=x，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出AM⊥BC，根據(jù)垂直的定義得出∠EAM=90°+90°﹣x=180°﹣x，根據(jù)周角的定義，及等量代換得出∠EAM=∠DBI，從而判斷出△AEM≌△DBI，在△DBI和△ABC中，DB=AB，BI=BC，∠DBI+∠ABC=180°，根據(jù)互補(bǔ)三角形的定義知△DBI和△ABC是互補(bǔ)三角形，然后得出結(jié)論。

【考點(diǎn)精析】掌握三角形的面積和正方形的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道三角形的面積=1/2×底×高；正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形．