Question

(本題滿分15分)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始，沿邊AC向點(diǎn)C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始，沿邊CB向點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作PD∥BC，交AB于點(diǎn)D，連結(jié)PQ．點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另兩個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）直接用含t的代數(shù)式分別表示：QB= ，PD= ；

（2）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由；

（3）是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．并探究如何改變Q的速度（勻速運(yùn)動(dòng)），使四邊形PDBQ在某一時(shí)刻為菱形，求點(diǎn)Q的速度；

Answer 1

【解析】
（1）QB=12-2t，PD=t。

∵PD∥BC，當(dāng)PD=BQ時(shí)四邊形PDBQ為平行四邊形，

即12-2t=t，解得：t=(秒)（或t=3.6秒）

∴存在t的值，使四邊形PDBQ為平行四邊形。

∵t=3.6時(shí)，BQ=PD=t=4.8，由△ABC∽△ADP，∴AD=t=6，BD=15-6=9,

∴BD≠PD，∴不存在t使四邊形PDBQ為菱形。

設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒個(gè)單位長度

則，，

要使四邊形PDBQ為菱形，則

當(dāng)時(shí)，即，解得：

當(dāng)，時(shí)，即，解得：

∴當(dāng)點(diǎn)Q的速度為每秒個(gè)單位長度時(shí)，經(jīng)過秒，四邊形PDBQ是菱形

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意得：CQ=2t，PA=t，由Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，PD∥BC，即可得tanA=，則可求得QB與PD的值；（2）由BQ∥DP，可得當(dāng)BQ=DP時(shí)，四邊形PDBQ是平行四邊形，據(jù)此列出方程，解得即可；（3）利用（2）中所求，即可求得此時(shí)DP與BD的長，由BD≠PD，可判定?PDBQ不能為菱形；然后設(shè)點(diǎn)Q的速度為每秒v個(gè)單位長度，由要使四邊形PDBQ為菱形，則PD=BD=BQ，列方程即可求得答案．

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)．