Question

已知方程x²+ax-b=0的根是a和c，方程x²+cx+d=0的根是b和d．其中，a、b、c、d為不同實(shí)數(shù)，求a、b、c、d的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系

專(zhuān)題：計(jì)算題

分析：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得a、b、c、d之間的4個(gè)關(guān)系式，分d=0和d≠0兩種情況討論，解4元1次方程組即可．

解答：解：∵方程x²+ax-b=0的根是a和c，
∴a+c=-a，ac=-b，
∵x²+cx+d=0的根是b和d，
∴b+d=-c，bd=d（5分），
（一）若d≠0，則由bd=d知b=1，
由a+c=-a知c=-2a，由ac=-b知-2a²=-1，解得a=±

2

2

（10分）
當(dāng)a=

2

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時(shí)，c=-

2

得d=-c-b=

2

-1；（1）
當(dāng)a=-

2

2

時(shí)c=

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，得d=-c-b=-

2

-1．（2）
經(jīng)驗(yàn)證，a=±

2

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，b=1，c=±

2

，d=±

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-1是符合條件的兩組解．（15分）
（二）若d=0，則b=-c，由a+c=-a知c=-2a，由ac=-b知ac=c
若c=0，則a=0，這與a、b、c、d是不同的實(shí)數(shù)矛盾．
若c≠0，則a=1，再由c=-2a知c=-2，從而b=-c=2
經(jīng)驗(yàn)證，a=1，b=2，c=-2，d=0也是符合條件的解．（20分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及解方程組的有關(guān)知識(shí)，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力．